题目内容
【题目】运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式,这种解决问题的方法我们称之为面积法.
(1)如图1,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AC边上的高为h,M是底边BC上的任意一点,点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2.请用面积法证明:h1+h2=h;
(2)当点M在BC延长线上时,h1、h2、h之间的等量关系式是 ;(直接写出结论不必证明)
(3)如图2在平面直角坐标系中有两条直线l1:y=x+3、l2:y=﹣3x+3,若l2上的一点M到l1的距离是1,请运用(1)、(2)的结论求出点M的坐标.
【答案】(1)见解析;(2)h1﹣h2=h;(3)点M的坐标为(,2)或(
,4).
【解析】试题分析:(1)、根据△ABC的面积的两种不同的计算方法得出三条线段之间的关系;(2)、根据第一题同样的方法得出答案;(3)、首先分别求出点A、点B和点C的坐标,然后求出AB的长度,得出△ABC为等腰三角形,然后分点M在BC边上和点M在CB的延长线上两种情况分别求出点M的坐标.
试题解析:解:(1)、∵S△ABC=S△ABM+S△AMC,S△ABM=×AB×ME=
×AB×h1,
S△AMC=×AC×MF=
×AC×h2, 又∵S△ABC=
×AC×BD=
×AC×h,
∴×AC×h=
×AB×h1+
×AC×h2, ∴h1+h2=h.
(2)、h1﹣h2=h.
(3)、在y=x+3中,令x=0得y=3;令y=0得x=﹣4,则:
A(﹣4,0),B(0,3)同理求得C(1,0), AB==5,AC=5,
所以AB=AC,即△ABC为等腰三角形.
①当点M在BC边上时,由h1+h2=h得:
1+My=OB,My=3﹣1=2,把它代入y=﹣3x+3中求得:Mx=, ∴M(
,2);
②当点M在CB延长线上时,由h1﹣h2=h得:My﹣1=OB,My=3+1=4,
把它代入y=﹣3x+3中求得:Mx=﹣, ∴M(﹣
,4),
∴点M坐标为(,2)或(
,4).
