题目内容
【题目】如图，是将抛物线
平移后得到的抛物线，其对称轴为
，与
轴的一个交点为
，另一交点为
，与
轴交点为
．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点
为抛物线上一点，且
，求点
的坐标；
（3）点
是抛物线上一点，点
是一次函数
的图象上一点，若四边形
为平行四边形，这样的点
是否存在？若存在，分别求出点的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）（1，4）（3）P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（
，
）、（
，）
【解析】
试题分析：（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；
（2）首先求得B和C的坐标，易证△OBC是等腰直角三角形，过点N作NH⊥y轴，垂足是H，设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3），根据CH=NH即可列方程求解；
（3）四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，即可求解．
试题解析：（1）设抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+k．
把（﹣1，0）代入得0=﹣（﹣1﹣1）2+k，
解得k=4，
则抛物线的解析式是y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；
（2）在y=﹣x2+2x+3中令x=0，则y=3，即C的坐标是（0，3），OC=3．
∵B的坐标是（3，0），
∴OB=3，
∴OC=OB，则△OBC是等腰直角三角形．
∴∠OCB=45°，
过点N作NH⊥y轴，垂足是H．
∵∠NCB=90°，
∴∠NCH=45°，
∴NH=CH，
∴HO=OC+CH=3+CH=3+NH，
设点N纵坐标是（a，﹣a2+2a+3）．
∴a+3=﹣a2+2a+3，
解得a=0（舍去）或a=1，
∴N的坐标是（1，4）；
（3）∵四边形OAPQ是平行四边形，则PQ=OA=1，且PQ∥OA，
设P（t，﹣t2+2t+3），代入y=x+，则﹣t2+2t+3=（t+1）+，
整理，得2t2﹣t=0，
解得t=0或．
∴﹣t2+2t+3的值为3或．
∴P、Q的坐标是（0，3），（1，3）或（，）、（，）．
