题目内容
已知：如图，抛物线y=ax2+bx-2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，OC=OA，△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若平行于x轴的动直线DE从点C开始，以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移，且分别交y轴、线段BC于点E、点D，同时动点P从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．当点P运动到点O时，直线DE与点P都停止运动．连接DP，设点P的运动时间为t秒．
①当t为何值时，
的值最小，并求出最小值；
②是否存在t的值，使以P，B，D为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）如图，由抛物线y=ax2+bx-2得：C（0，-2），
∴OA=OC=2，
∴A（2，0），
∵△ABC的面积为2，
∴AB=2，
∴B（4，0），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4），代入点C（0，-2），
a=-
，
∴抛物线的解析式为
，
答：抛物线的解析式为y=-x2+
x-2．
（2）解：由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，
∵ED∥BA
可得：
，
即
，
∴ED=2CE=2t，
①
，
∵当t=1时，-t2+2t有最大值1，
∴当t=1时的值最小，最小值为1．
答：当t为1时，的值最小，最小值是1．
②解：由题意可求：
，
，
∴
，
∵∠PBD=∠ABC，
∴以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：
当
时，即
，
解得：
，
当
时，即
，
解得：
，
当或时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似．
答：存在t的值，使以P，B，D为顶点的三角形与△ABC相似，t的值是
或
．
分析：（1）求出C的坐标，得到A、B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4），代入点C的坐标求出a即可；
（2）①由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，由ED∥BA得出，求出ED=2CE=2t，根据，求出即可；②以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：和代入求出即可．
点评：本题主要考查对二次函数的最值，用待定系数法求二次函数的解析式，解一元一次方程，相似三角形的性质和判定，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
∴OA=OC=2，
∴A（2，0），
∵△ABC的面积为2，
∴AB=2，
∴B（4，0），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4），代入点C（0，-2），
a=-
，∴抛物线的解析式为
，答：抛物线的解析式为y=-
x2+x-2．（2）解：由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，
∵ED∥BA
可得：
，即
，∴ED=2CE=2t，
①
，∵当t=1时，-t2+2t有最大值1，
∴当t=1时
的值最小，最小值为1．答：当t为1时，
的值最小，最小值是1．②解：由题意可求：
，，∴
，∵∠PBD=∠ABC，
∴以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：
当
时，即，解得：
，当
时，即，解得：
，当
或时，以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似．答：存在t的值，使以P，B，D为顶点的三角形与△ABC相似，t的值是
或．分析：（1）求出C的坐标，得到A、B的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4），代入点C的坐标求出a即可；
（2）①由题意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，由ED∥BA得出
，求出ED=2CE=2t，根据，求出即可；②以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似有两种情况：和代入求出即可．点评：本题主要考查对二次函数的最值，用待定系数法求二次函数的解析式，解一元一次方程，相似三角形的性质和判定，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
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