Question

如图一，有一个圆O和两个正六边形T₁，T₂．T₁的六个顶点都在圆周上，T₂的六条边都和圆O相切（我们称T₁，T₂分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．

（1）请你在备用图中画出圆O的内接正六边形，并简要写出作法；
（2）设圆O的半径为R，求T₁，T₂的边长（用含R的式子表示）；
（3）设圆O的半径为R，求图二中阴影部分的面积（用含R的式子表示）

Answer 1

分析：（1）先画出60°的圆心角，确定圆心角所对的弧，在圆上依次截取与弧AB相等的弧即可；
（2）连接OG，得到Rt△OGB≌Rt△OGA，然后利用勾股定理解答；
（3）根据“阴影部分的面积=外切正六边形的面积-内接正六边形的面积”，并把正六边形的面积转化为
六个三角形面积的和解答．

解答：解：（1）如图

作法：①在⊙O中做圆心角∠AOB=60°；
②在⊙O上依次截取与弧AB相等的弧，得到圆的6个等分点A、B、C、D、E、F；
③顺次连接各点，六边形ABCDEF即为所求正六边形．（4分）

（2）如图：

∵由（1）知△AOB为等边三角形，
∴T₁的半径为R．（6分）
连接OG，可知Rt△OGB≌Rt△OGA，
∴∠OGB=60°，
∴BG=

1

2

OG，
设BG为x，由勾股定理有：x²+R²=（2x）²，
解得：x=

3

3

R，
外切正六边形的边长为

2 3

3

R．（8分）

（3）由图知：
阴影部分的面积=外切正六边形的面积-内接正六边形的面积，
∵内接正六边形的面积为S_△AOB的六倍，S△AOB=

3

4

R2，
∴内接正六边形的面积为：S内=6S△AOB=

3 3

2

R2．（9分）
∵外切正六边形的面积为S_△OGH的六倍，S△OGH=

3

4

•(

2 3

3

R)2=

3

3

R2，
∴外切正六边形的面积为：S外=6S△OGH=2

3

R2．（10分）
S阴=S外-S内=(2

3

-

3 3

2

)R2=

3

2

R2．（12分）

点评：此题考查了圆和其内接正六边形、外切正六边形之间的关系，要转化为正三角来解答．