题目内容

【题目】已知二次函数y=ax2+bx-3经过A(-1,0),B(3,0)两点,

(1)求二次函数解析式及对称轴方程;

(2)连接BC,交对称轴于点E,求E点坐标;

(3)在y轴上是否存在一点M,使ΔBCM为等腰三角形,若存在,直接写出点M的坐标,若不存在,请说明理由;

(4)在第四象限内抛物线上是否存一点H,使得四边形ACHB的面积最大,若存在,求出点H坐标,若不存在,说明理由.

【答案】(1)二次函数解析式为y=x2-2x-3,对称轴方程为:直线x=1;

(2)E(1,-2);

(3)存在:M1(0,3),M2(0,0),M3(0,-3-),M4(0,-3+

(4)点H坐标为

【解析】分析:(1)将A(-1,0)、B(3,0)代入二次函数y= ,求得a、b的值即可确定二次函数的解析式;(2)求出直线BC:y=x-3, 把对称轴方程直线x=1代入,即可求解;(3)在RT△BOC中,根据勾股定理求出BC,据等腰三角形的性质求出①当BC=BM时,M1(0,3);②当CM=BM时,点M与点O重合,M2(0,0);③当BC=CM时,M点有两个即M3(0,-3-),M4(0,-3+);(4)设点H的坐标为 ,连接OH,根据 .

本题解析:(1)将A,B两点坐标代入y=ax2+bx-3得方程组,解得a=1,b=-2,所以二次函数解析式为y=x2-2x-3,对称轴方程为:直线x=1;

(2)设E点坐标为(1,a),把B(3,0),C(0,-3)代入直线BC:y=kx+b,求得解析式为:y=x-3, 把x=1,代入得:a=-2, ∴E(1,-2);

(3)存在:M1(0,3),M2(0,0),M3(0,-3-),M4(0,-3+

(4)连接OH,设H点坐标为(x0,x02-2x0-3)

S四边形ACHB=S△AOC+S△COH+S△BOH

=+x+|x02-2x0-3|

=

=

当x0=时,x02-2x0-3=

所以点H坐标为

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