Question

如图所示，要在底边BC=160cm，高AD=120cm的△ABC铁皮余料上，截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交HG于点M．
（1）设矩形EFGH的长HG=y，宽HE=x，确定y与x的函数关系式；（提示：S_△ABC=S_△AHG+S_梯形BCGH）
（2）设矩形EFGH的面积为S，确定S与x的函数关系式；
（3）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？

Answer 1

分析：（1）由S_△ABC=S_△AHG+S_梯形BCGH，可得

1

2

×160×120=

1

2

y（120-x）+

1

2

x（y+160），继而求得答案；
（2）把y=-

4

3

x+160代入S=xy，即可求得S与x的函数关系式；
（3）由S=-

4

3

x²+160x，可得：S=-

4

3

（x-60）²+4800；则可求得矩形EFGH的面积S最大值．

解答：解：（1）∵S_△ABC=S_△AHG+S_梯形BCGH，
∴

1

2

×160×120=

1

2

y（120-x）+

1

2

x（y+160），
化简得：y=-

4

3

x+160；

（2）把y=-

4

3

x+160代入S=xy，
得：S=-

4

3

x²+160x；

（3）将S=-

4

3

x²+160x，
右边配方得：S=-

4

3

（x-60）²+4800；
∵-

4

3

（x-60）²≤0，
∴当-

4

3

（x-60）²=0时，即x=60时，S=-

4

3

（x-60）²+4800有最大值4800．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．