题目内容

如图所示,要在底边BC=160cm,高AD=120cm的△ABC铁皮余料上,截取一个矩形EFGH,使点H在AB上,点G在AC上,点E、F在BC上,AD交HG于点M.
(1)设矩形EFGH的长HG=y,宽HE=x,确定y与x的函数关系式;(提示:S△ABC=S△AHG+S梯形BCGH
(2)设矩形EFGH的面积为S,确定S与x的函数关系式;
(3)当x为何值时,矩形EFGH的面积S最大?
分析:(1)由S△ABC=S△AHG+S梯形BCGH,可得
1
2
×160×120=
1
2
y(120-x)+
1
2
x(y+160),继而求得答案;
(2)把y=-
4
3
x+160代入S=xy,即可求得S与x的函数关系式;
(3)由S=-
4
3
x2+160x,可得:S=-
4
3
(x-60)2+4800;则可求得矩形EFGH的面积S最大值.
解答:解:(1)∵S△ABC=S△AHG+S梯形BCGH
1
2
×160×120=
1
2
y(120-x)+
1
2
x(y+160),
化简得:y=-
4
3
x+160;

(2)把y=-
4
3
x+160代入S=xy,
得:S=-
4
3
x2+160x;

(3)将S=-
4
3
x2+160x,
右边配方得:S=-
4
3
(x-60)2+4800;
∵-
4
3
(x-60)2≤0,
∴当-
4
3
(x-60)2=0时,即x=60时,S=-
4
3
(x-60)2+4800有最大值4800.
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质.此题难度适中,注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.
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