题目内容
阅读题:我国著名数学家华罗庚说过:“数缺形时少直观,形小数时难入微,数形结合百般好,隔离分家事万休.”数形结合的基本思想,就是在研究问题的过程中,注意把数和形结合起来考察,斟酌问题的具体情形,把图形性质的问题转化为数量关系的问题转化为图形性质的问题,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,化难为易,获得简便易行的成功方案.例:求1+2+3+4+…+n的值,其中n是正整数;
如果采用数形结合的方法,现利用图形的性质来求1+2+3+4+…+n的值,方案如下:
如图,斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1,2,3…n个小圆圈的个数恰好为所求式子1+2+3+4+…+n的值,为求式子的值,现把左边三角形倒放于斜线右边,与原三角形组成一个平行四边形小圆圈的总个数为n(n+1)个,因此,组成一个三角形小圆圈的个数为
n(n+1) |
2 |
n(n+1) |
2 |
①仿照上述数形结合的思想方法,设计相关图形,求1+3+5+7+…+(2n-1)的值,其中n为正整数(要求画出图形,写出结果即可)
②试设计另外一种图形,求1+3+5+7+…+(2n-1)的值,其中n是正整数(要求画出图形,写出结果即可)
分析:①根据题干的分析方法,我们也可以作出一个平行四边形,平行四边形的边长分别为2n,n;则组成一个平行四边形小圆圈的总个数为n×2n个,因此,组成一个三角形小圆圈的个数为n×n.
②根据提干的分析方法,如下图所示,我们可以作出一个正方形,它的边长为n,此时小圆圈的总个数为:n×n=n2.
②根据提干的分析方法,如下图所示,我们可以作出一个正方形,它的边长为n,此时小圆圈的总个数为:n×n=n2.
解答:解:①
组成平行四边形小圆圈的总个数为n×2n个,因此,组成一个三角形小圆圈的个数为n×n=n2.
②
可以组成一个边长为n的正方形,因此1+3+5+7+…+(2n-1)=n×n=n2.
组成平行四边形小圆圈的总个数为n×2n个,因此,组成一个三角形小圆圈的个数为n×n=n2.
②
可以组成一个边长为n的正方形,因此1+3+5+7+…+(2n-1)=n×n=n2.
点评:本题属于图形变化类得出规律型,关键在于根据提干得出方便求解的图形,如:平行四边形、正方形等.
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