题目内容
【题目】如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,CO的延长线交AB于点D.
(1)求证:AO平分∠BAC;
(2)若BC=6,sin∠BAC=,求AC和CD的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)AC= , CD= ,
【解析】分析:(1)延长AO交BC于H,连接BO,证明A、O在线段BC的垂直平分线上,得出AO⊥BC,再由等腰三角形的性质即可得出结论;(2)延长CD交⊙O于E,连接BE,则CE是⊙O的直径,由圆周角定理得出∠EBC=90°,∠E=∠BAC,得出sinE=sin∠BAC,求出CE=BC=10,由勾股定理求出BE=8,证出BE∥OA,得出,求出OD=,得出CD=,而BE∥OA,由三角形中位线定理得出OH=BE=4,CH=BC=3,在Rt△ACH中,由勾股定理求出AC的长即可.
本题解析:
解:(1)证明:延长AO交BC于H,连接BO.
∵AB=AC,OB=OC,
∴A,O在线段BC的垂直平分线上.∴AO⊥BC.
又∵AB=AC,∴AO平分∠BAC.
(2)延长CD交⊙O于E,连接BE,则CE是⊙O的直径.
∴∠EBC=90°,BC⊥BE.
∵∠E=∠BAC,∴sinE=sin∠BAC.
∴=.∴CE=BC=10.
∴BE==8,OA=OE=CE=5.
∵AH⊥BC,∴BE∥OA.
∴=,即=,
解得OD=.∴CD=5+=.
∵BE∥OA,即BE∥OH,OC=OE,∴OH是△CEB的中位线.
∴OH=BE=4,CH=BC=3.∴AH=5+4=9.
在Rt△ACH中,AC===3.