题目内容

【题目】如图,ABC内接于⊙O,AB=AC,CO的延长线交AB于点D.

(1)求证:AO平分∠BAC;

(2)BC=6,sinBAC=,求ACCD的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)AC= , CD= ,

【解析】分析:(1)延长AOBCH,连接BO,证明A、O在线段BC的垂直平分线上,得出AO⊥BC,再由等腰三角形的性质即可得出结论;(2)延长CD交⊙OE,连接BE,则CE是⊙O的直径,由圆周角定理得出∠EBC=90°,∠E=∠BAC,得出sinE=sin∠BAC,求出CE=BC=10,由勾股定理求出BE=8,证出BE∥OA,得出,求出OD=,得出CD=,而BE∥OA,由三角形中位线定理得出OH=BE=4,CH=BC=3,在Rt△ACH中,由勾股定理求出AC的长即可.

本题解析:

解:(1)证明:延长AOBCH,连接BO.

AB=AC,OB=OC,

A,O在线段BC的垂直平分线上.∴AOBC.

又∵AB=AC,AO平分∠BAC.

(2)延长CD交⊙OE,连接BE,CE是⊙O的直径.

∴∠EBC=90°,BCBE.

∵∠E=BAC,sinE=sinBAC.

.CE=BC=10.

BE==8,OA=OE=CE=5.

AHBC,BEOA.

解得OD=.CD=5+.

BEOA,BEOH,OC=OE,OH是△CEB的中位线.

OH=BE=4,CH=BC=3.AH=5+4=9.

RtACH,AC==3.

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