题目内容

如图，反比例函数 $数学公式$ 的图象与一次函数y=mx+b的图象交于两点A（1，3），B（n，-1）．
（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；
（2）求由A、B、O三点构成的三角形面积；
（3）在反比例函数的图象上另找点P，使得点A、O、P构成的三角形面积与A、B、O三点构成的三角形面积相等，这样的点还有几个？请直接写出个数．

解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y= $\text{[math]}$ 的图象上，
∴k=1×3=3，
∴反比例函数的解析式为：y= $\text{[math]}$ ；
把B（n，-1）代入y= $\text{[math]}$ 得，n= $\text{[math]}$ =-3，
∴点B的坐标为（-3，-1），
把A（1，3）、B（-3，-1）代入y=mx+b得
$\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
故一次函数的函数关系式为：y=x+2；
（2）对于y=x+2，令x=0，则y=3，
则C点坐标为（0，2），
则S_△AOB=S_△OBC+S_△AOC= $\text{[math]}$ ×2×3+ $\text{[math]}$ ×2×1=4；
（3）设点P的坐标为：（a， $\text{[math]}$ ），
当点P在第一象限，且在A点的右侧，即a＞1，如图，

作AE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，
∵S_△AOP+S_△OPF=S_△AOE+S_梯形AEFP，
而S_△OPF=S_△AOE，
∴S_△AOP=S_梯形AEFP= $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ +3）×（a-1）=4，解得a₁=3，a₂=- $\text{[math]}$ ，
∴a=3，此时P点坐标为（3，1）；
当点P在第一象限，且在A点的右侧，即0＜a＜1，
S_△AOP=S_梯形AEFP= $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ +3）×（1-a）=4，解得a₁=-3，a₂= $\text{[math]}$ ，
则a= $\text{[math]}$ ，此时P点坐标为（ $\text{[math]}$ ，3）；
当点P在第三象限，即a＜0，PA交y轴于H点，如图，

易求出直线PA的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，
则H点坐标为（0， $\text{[math]}$ ），
则S_△AOP=S_△OHP+S_△OAH= $\text{[math]}$ （-a）•| $\text{[math]}$ |+ $\text{[math]}$ ×1×| $\text{[math]}$ |=4，
当H点在x轴上方，
$\text{[math]}$ （-a）• $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ×1× $\text{[math]}$ =4，解得a₁=-3，a₂= $\text{[math]}$ ，
故a=-3，此时P点与B点重合；
当H点在x轴下方，
$\text{[math]}$ （-a）•[- $\text{[math]}$ ]+ $\text{[math]}$ ×1×[- $\text{[math]}$ ]=4，解得a₁=3，a₂=- $\text{[math]}$ ，
则a=- $\text{[math]}$ ，此时P点坐标为（- $\text{[math]}$ ，-3），
故满足条件的P点有三个：（3，1），（ $\text{[math]}$ ，3），（- $\text{[math]}$ ，-3）．
分析：（1）先把A（1，3）代入反比例函数解析式求出k，再把B（n，1）代入反比例函数解析式求出n，然后利用待定系数法确定一次函数y=mx+b的解析式；
（2）先确定C点坐标为（0，2），然后利用S_△AOB=S_△OBC+S_△AOC进行计算；
（3）设点P的坐标为：（a， $\text{[math]}$ ），讨论：①当点P在第一象限，且在A点的右侧，即a＞1，如图作AE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F，易得S_△AOP=S_梯形AEFP= $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ +3）×（a-1）=4，解得a₁=3，a₂=- $\text{[math]}$ ，满足条件P点坐标为（3，1）；当点P在第一象限，且在A点的右侧，即0＜a＜1，S_△AOP=S_梯形AEFP= $\text{[math]}$ ×（ $\text{[math]}$ +3）×（1-a）=4，解得a₁=-3，a₂= $\text{[math]}$ ，得到P点坐标为（ $\text{[math]}$ ，3）；
②当点P在第三象限，即a＜0，PA交y轴于H点，利用待定系数法求出直线PA的解析式为y=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ，则H点坐标为（0， $\text{[math]}$ ），得到S_△AOP=S_△OHP+S_△OAH= $\text{[math]}$ （-a）•| $\text{[math]}$ |+ $\text{[math]}$ ×1×| $\text{[math]}$ |=4，然后讨论H点在x轴上方或下方，去绝对值得到两个方程，解方程就可确定a的值，从而得到P点坐标．
点评：本题考查了反比例函数的综合题：点在反比例函数图象上，点的坐标满足其解析式；利用待定系数法求函数的解析式；运用分类讨论的方法去探究满足条件的点的个数．