Question

直线y＝x－6与x轴、y轴分别交于点A、B，点E从B点，出发以每秒1个单位的速度沿线段BO向O点移动(与B、O点不重合)，过E作EF∥AB，交x轴于F．将四边形ABEF沿EF折叠，得到四边形DCEF，设点E的运动时间为t秒．

(1)①直线y＝x－6与坐标轴交点坐标是A(________，________)，B(________，________)；

②画出t＝2时，四边形ABEF沿EF折叠后的图形(不写画法)；

(2)若CD交y轴于H点，求证：四边形DHEF为平行四边形；并求t为何值时，四边形DHEF为菱形(计算结果不需化简)；

(3)设四边形DCEF落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数表达式，并求出S的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)①直线与坐标轴交点坐标是A(6，0)，B(0，－6)；　1分 　　②如图，四边形DCEF即为四边形ABEF沿EF折叠后的图形；　3分 　　(2)∵四边形DCEF与四边形ABEF关于直线EF对称， 　　又AB∥EF，∴CD∥EF． 　　∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠BAO＝45°． 　　∵AB∥EF，∴∠AFE＝135°． 　　∴∠DFE＝∠AFE＝135°． 　　∴∠AFD＝360°－2×135°＝90°，即DF⊥x轴． 　　∴DF∥EH，∴四边形DHEF为平行四边形．　5分 　　要使□DHEF为菱形，只需EF＝DF，∵AB∥EF，∠FAB＝∠EBA，∴FA＝EB． 　　∴DF＝FA＝EB＝t． 　　又∵OE＝OF＝6－t，∴EF＝． 　　∴＝t． 　　∴． 　　∴当时，□DHEF为菱形．　7分 　　(3)分两种情况讨论： 　　①当0＜t≤3时，　8分 　　四边形DCEF落在第一象限内的图形是△DFG，∴S＝． 　　∵S＝，在t＞0时，S随t增大而增大，∴t＝3时，S最大＝；　9分 　　②当3＜t＜6时，　10分 　　四边形DCEF落在第一象限内的图形是四边形DHOF， 　　∴S四边形DHOF＝S△DGF－S△HGO． 　　∴S＝ 　　＝ 　　＝． 　　∵a＝＜0， 　　∴S有最大值． 　　∴当t＝4时，S最大＝6．　12分 　　综上所述，当S＝4时，S最大值为6．　13分