题目内容
（2013•太原）综合与探究：如图，抛物线y=
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（1）求点A，B，C的坐标．
（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．
（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）根据坐标轴上点的特点，可求点A，B，C的坐标．
（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标，根据待定系数法可求直线BD的解析式，根据平行四边形的性质可得关于m的方程，求得m的值；再根据平行四边形的判定可得四边形CQBM的形状；
（3）分DQ⊥BD，BQ⊥BD两种情况讨论可求点Q的坐标．
（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标，根据待定系数法可求直线BD的解析式，根据平行四边形的性质可得关于m的方程，求得m的值；再根据平行四边形的判定可得四边形CQBM的形状；
（3）分DQ⊥BD，BQ⊥BD两种情况讨论可求点Q的坐标．
解答：解：（1）当y=0时，
x2-
x-4=0，解得x1=-2，x2=8，
∵点B在点A的右侧，
∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（8，0）．
当x=0时，y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4）．
（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，则
，
解得k=-
，b=4．
∴直线BD的解析式为y=-
x+4．
∵l⊥x轴，
∴点M的坐标为（m，-
m+4），点Q的坐标为（m，
m2-
m-4）．
如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，
∴（-
m+4）-（
m2-
m-4）=4-（-4）．
化简得：m2-4m=0，
解得m1=0（不合题意舍去），m2=4．
∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形．
此时，四边形CQBM是平行四边形．
解法一：∵m=4，
∴点P是OB的中点．
∵l⊥x轴，
∴l∥y轴，
∴△BPM∽△BOD，
∴
=
=
，
∴BM=DM，
∵四边形CQMD是平行四边形，
∴DM
CQ，
∴BM
CQ，
∴四边形CQBM是平行四边形．
解法二：设直线BC的解析式为y=k1x+b1，则
，
解得k1=
，b1=-4．
故直线BC的解析式为y=
x-4．
又∵l⊥x轴交BC于点N，
∴x=4时，y=-2，
∴点N的坐标为（4，-2），
由上面可知，点M的坐标为（4，2），点Q的坐标为（4，-6）．
∴MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4，
∴MN=QN，
又∵四边形CQMD是平行四边形，
∴DB∥CQ，
∴∠3=∠4，
∵在△BMN与△CQN中，
，
∴△BMN≌△CQN（ASA）
∴BN=CN，
∴四边形CQBM是平行四边形．
（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（-2，0），Q2（6，-4）．
若△BDQ为直角三角形，可能有三种情形，如答图2所示：
①以点Q为直角顶点．
此时以BD为直径作圆，圆与抛物线的交点，即为所求之Q点．
∵P在线段EB上运动，∴-8≤xQ≤8，而由图形可见，在此范围内，圆与抛物线并无交点，
故此种情形不存在．
②以点D为直角顶点．
连接AD，∵OA=2，OD=4，OB=8，AB=10，
由勾股定理得：AD=2
，BD=4
，
∵AD2+BD2=AB2，∴△ABD为直角三角形，即点A为所求的点Q．
∴Q1（-2，0）；
③以点B为直角顶点．
如图，设Q2点坐标为（x，y），过点Q2作Q2K⊥x轴于点K，则Q2K=-y，OK=x，BK=8-x．
易证△QKB∽△BOD，
∴
=
，即
=
，整理得：y=2x-16．
∵点Q在抛物线上，∴y=
x2-
x-4．
∴
x2-
x-4=2x-16，解得x=6或x=8，
当x=8时，点Q2与点B重合，故舍去；
当x=6时，y=-4，
∴Q2（6，-4）．
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∵点B在点A的右侧，
∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（8，0）．
当x=0时，y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4）．
（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，则
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解得k=-
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∴直线BD的解析式为y=-
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∵l⊥x轴，
∴点M的坐标为（m，-
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如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，
∴（-
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化简得：m2-4m=0，
解得m1=0（不合题意舍去），m2=4．
∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形．
此时，四边形CQBM是平行四边形．
解法一：∵m=4，
∴点P是OB的中点．
∵l⊥x轴，
∴l∥y轴，
∴△BPM∽△BOD，
∴
| BP |
| BO |
| BM |
| BD |
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∴BM=DM，
∵四边形CQMD是平行四边形，
∴DM
| ∥ |
. |
∴BM
| ∥ |
. |
∴四边形CQBM是平行四边形．
解法二：设直线BC的解析式为y=k1x+b1，则
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解得k1=
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故直线BC的解析式为y=
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又∵l⊥x轴交BC于点N，
∴x=4时，y=-2，
∴点N的坐标为（4，-2），
由上面可知，点M的坐标为（4，2），点Q的坐标为（4，-6）．
∴MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4，
∴MN=QN，
又∵四边形CQMD是平行四边形，
∴DB∥CQ，
∴∠3=∠4，
∵在△BMN与△CQN中，
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∴△BMN≌△CQN（ASA）
∴BN=CN，
∴四边形CQBM是平行四边形．
（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（-2，0），Q2（6，-4）．
若△BDQ为直角三角形，可能有三种情形，如答图2所示：
①以点Q为直角顶点．
此时以BD为直径作圆，圆与抛物线的交点，即为所求之Q点．
∵P在线段EB上运动，∴-8≤xQ≤8，而由图形可见，在此范围内，圆与抛物线并无交点，
故此种情形不存在．
②以点D为直角顶点．
连接AD，∵OA=2，OD=4，OB=8，AB=10，
由勾股定理得：AD=2
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∵AD2+BD2=AB2，∴△ABD为直角三角形，即点A为所求的点Q．
∴Q1（-2，0）；
③以点B为直角顶点．
如图，设Q2点坐标为（x，y），过点Q2作Q2K⊥x轴于点K，则Q2K=-y，OK=x，BK=8-x．
易证△QKB∽△BOD，
∴
| Q2K |
| OB |
| BK |
| OD |
| -y |
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| 8-x |
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∵点Q在抛物线上，∴y=
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∴
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当x=8时，点Q2与点B重合，故舍去；
当x=6时，y=-4，
∴Q2（6，-4）．
点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：坐标轴上点的特点，菱形的对称性，待定系数法求直线的解析式，平行四边形的判定和性质，方程思想和分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
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