题目内容
(2012•广西)已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A(3,0)和点C,与y轴交于点B(0,3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上找一点D,使得点D到点B、C的距离之和最小,并求出点D的坐标;
(3)在第一象限的抛物线上,是否存在一点P,使得△ABP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上找一点D,使得点D到点B、C的距离之和最小,并求出点D的坐标;
(3)在第一象限的抛物线上,是否存在一点P,使得△ABP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
分析:(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)连接AB,与对称轴x=1的交点即为所求之D点.为求D点坐标,需先求出直线AB的解析式,然后令x=1求得y,即可求出D点坐标;
(3)本问关键是求出△ABP的面积表达式.这个表达式是一个关于P点横坐标的二次函数,利用二次函数求极值的方法可以确定P点的坐标.
(2)连接AB,与对称轴x=1的交点即为所求之D点.为求D点坐标,需先求出直线AB的解析式,然后令x=1求得y,即可求出D点坐标;
(3)本问关键是求出△ABP的面积表达式.这个表达式是一个关于P点横坐标的二次函数,利用二次函数求极值的方法可以确定P点的坐标.
解答:解:(1)∵抛物线y=ax2+2x+c的图象经过点A(3,0)和点B(0,3),
∴
,解得a=-1,c=3,
∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3.
(2)对称轴为x=-
=1,
令y=-x2+2x+3=0,解得x1=3,x2=-1,∴C(-1,0).
如图1所示,连接AB,与对称轴x=1的交点即为所求之D点,由于A、C两点关于对称轴对称,则此时DB+DC=DB+DA=AB最小.
设直线AB的解析式为y=kx+b,由A(3,0)、B(0,3)可得:
,解得k=-1,b=3,
∴直线AB解析式为y=-x+3.
当x=1时,y=2,∴D点坐标为(1,2).
(3)结论:存在.
如图2所示,设P(x,y)是第一象限的抛物线上一点,
过点P作PN⊥x轴于点N,则ON=x,PN=y,AN=OA-ON=3-x.
S△ABP=S梯形PNOB+S△PNA-S△AOB
=
(OB+PN)•ON+
PN•AN-
OA•OB
=
(3+y)•x+
y•(3-x)-
×3×3
=
(x+y)-
,
∵P(x,y)在抛物线上,∴y=-x2+2x+3,代入上式得:
S△ABP=
(x+y)-
=-
(x2-3x)=-
(x-
)2+
,
∴当x=
时,S△ABP取得最大值.
当x=
时,y=-x2+2x+3=
,∴P(
,
).
所以,在第一象限的抛物线上,存在一点P,使得△ABP的面积最大;P点的坐标为(
,
).
∴
|
∴抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3.
(2)对称轴为x=-
b |
2a |
令y=-x2+2x+3=0,解得x1=3,x2=-1,∴C(-1,0).
如图1所示,连接AB,与对称轴x=1的交点即为所求之D点,由于A、C两点关于对称轴对称,则此时DB+DC=DB+DA=AB最小.
设直线AB的解析式为y=kx+b,由A(3,0)、B(0,3)可得:
|
∴直线AB解析式为y=-x+3.
当x=1时,y=2,∴D点坐标为(1,2).
(3)结论:存在.
如图2所示,设P(x,y)是第一象限的抛物线上一点,
过点P作PN⊥x轴于点N,则ON=x,PN=y,AN=OA-ON=3-x.
S△ABP=S梯形PNOB+S△PNA-S△AOB
=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
=
1 |
2 |
1 |
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1 |
2 |
=
3 |
2 |
9 |
2 |
∵P(x,y)在抛物线上,∴y=-x2+2x+3,代入上式得:
S△ABP=
3 |
2 |
9 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
27 |
8 |
∴当x=
3 |
2 |
当x=
3 |
2 |
15 |
4 |
3 |
2 |
15 |
4 |
所以,在第一象限的抛物线上,存在一点P,使得△ABP的面积最大;P点的坐标为(
3 |
2 |
15 |
4 |
点评:本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数(二次函数和一次函数)的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、图形面积的表示方法等重要知识点,难度不是很大.注意第(3)问中图形面积的表示方法-并非直接用底乘以高,而是通过其他图形组合转化而来-这是压轴题中常见的技巧,需要认真掌握.
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