题目内容

大家知道,因式分解是代数中一种重要的恒等变形.应用因式分解的思想方法有时能取得意想不到的效果,如化简:
1
22
+
12×2
=
22
-
12×2
(
22
+
12×2)
(
22
-
12×2
)
=
22
-
12×2
22-12×2
=1-
2
2
1
32
+
22×3
=
32
-
22×3
(
32
+
22×3
)(
32
-
22×3
)
=
32
-
22×3
32-22×3
=
2
2
-
3
3

(1)从以上化简的结果中找出规律,直接写出用n(n是正整数)表示上面规律的式子.
(2)根据以上规律,计算
1
22
+
12×2
+
1
32
+
22×3
+
1
42
+
32×4
+…+
1
102
+
92×10
分析:(1)先分母有理化,再化简即可得出规律;
(2)根据(1)的规律采用抵消法即可求解.
解答:解:(1)
1
n(n+1)2
+
n2(n+1)
=
n
n
-
n+1
n+1


(2)原式=1-
2
2
+
2
2
-
3
3
+
3
3
-
4
4
+…+
9
9
-
10
10

=1-
10
10
点评:考查了因式分解的应用和二次根式的混合运算,关键是掌握
1
n(n+1)2
+
n2(n+1)
=
n
n
-
n+1
n+1
的规律.
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