Question

大家知道，因式分解是代数中一种重要的恒等变形．应用因式分解的思想方法有时能取得意想不到的效果，如化简：

1

1×22 + 12×2

=

1×22 - 12×2

( 1×22 + 12×2) ( 1×22 - 12×2 )

=

1×22 - 12×2

1×22-12×2

=1-

2

2

1

2×32 + 22×3

=

2×32 - 22×3

( 2×32 + 22×3 )( 2×32 - 22×3 )

=

2×32 - 22×3

2×32-22×3

=

2

2

-

3

3

…
（1）从以上化简的结果中找出规律，直接写出用n（n是正整数）表示上面规律的式子．
（2）根据以上规律，计算

1

1×22 + 12×2

+

1

2×32 + 22×3

+

1

3×42 + 32×4

+…+

1

9×102 + 92×10

．

Answer 1

分析：（1）先分母有理化，再化简即可得出规律；
（2）根据（1）的规律采用抵消法即可求解．

解答：解：（1）

1

n(n+1)2 + n2(n+1)

=

n

n

-

n+1

n+1

；

（2）原式=1-

2

2

+

2

2

-

3

3

+

3

3

-

4

4

+…+

9

9

-

10

10

=1-

10

10

．

点评：考查了因式分解的应用和二次根式的混合运算，关键是掌握

1

n(n+1)2 + n2(n+1)

=

n

n

-

n+1

n+1

的规律．