题目内容
(2011•长宁区一模)已知:如图,AD是△ABC的边BC上的高,且AD是BD与DC的比例中项.求证:△ABC是直角三角形.
分析:由AD是BD与DC的比例中项,根据比例中项的性质,即可得AD2=BD•BC,∠B=∠B,可知△ABD∽△CAD,由AD是△ABC的边BC上的高,则可求得∠BAC=90°,故△ABC是直角三角形.
解答:证明:∵AD是BD与DC的比例中项,
∴AD2=BD•DC,
∴
=
,
∵AD是△ABC的边BC上的高,
∴∠ADB=∠CDA=90°,
∴△ABD∽△CAD,
∴∠B=∠CAD,
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠BAD+∠B=90°,
∴△ABC是直角三角形.
∴AD2=BD•DC,
∴
AD |
BD |
DC |
AD |
∵AD是△ABC的边BC上的高,
∴∠ADB=∠CDA=90°,
∴△ABD∽△CAD,
∴∠B=∠CAD,
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠BAD+∠B=90°,
∴△ABC是直角三角形.
点评:此题考查了相似三角形的判定与性质.此题难度不大,解题的关键是注意数形结合思想的应用.
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