题目内容
【题目】如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若BD=CD,∠ABD与∠C互补.
(1)求证:AD平分∠BAC;(2)若AB=5,AC=9,则AE=_________.
【答案】见解析
【解析】(1)首先证明Rt△BED≌Rt△CED,根据全等三角形的对应边相等证明DE=DF,即可证得AD是∠BAC的平分线;
(2)根据全等三角形的性质得到AF=AE,BE=CF,根据AE=AC-CF=AB+BE,得到BE=2,于是得到结论.
解:(1)证明:∵DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∴∠E=∠DFC=90°,
∵∠ABD与∠C互补
∴∠ABD+∠C=180°
∵∠ABD+∠DBE=180°
∴∠DBE=∠C
∵BD=CD
∴△BDE≌△CDF(AAS)
∴DE=DF,即AD平分∠BAC;
(2)解:在△ADE与△ADF中,∠DAE=∠DAF,∠AED=∠AFD=90°,AD=AD,
∴AF=AE,
∵Rt△BED≌Rt△CFD,
∴BE=CF,∴AE=AC-CF=AB+BE,
∴BE=2,
∴AE=AB+BE=7.
故答案为:7.
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