题目内容
【题目】如图,五边形是边长为
的正五边形,
是正五边形
的外接圆,过点
作
的切线,与
、
的延长线交分别于点
和
,延长
、
相交于点
,那么
的长度是________.
【答案】
【解析】
先证明AG=AF,由SSS得到△OHD与△OED全等,得出∠ODH=∠ODE=54°,证出∠B=∠C=72°,设GB=xcm,由△DHB∽△GBD,利用相似三角形对应边成比例列出比例式,求出x的值,即可得出结果.
:∵五边形DEFGH是正五边形,
∴∠HDE=∠DEF=∠EFG=∠FGH=∠GHD=108°,
∴∠BHD=∠CED=∠AGF=∠AFG=72°,
∴AG=AF,
∴△AGF是等腰三角形;
连接DG,如图所示:
∵BC是⊙O的切线,
∴OD⊥BC,
∴∠BFO=∠CFO=90°,
在△OHD与△OED中,,
∴△OHD≌△OED(SSS),
∴∠ODH=∠ODE=54°,
∴∠HDB=∠EDC=36°,
∴∠B=∠C=72°,
∴BD=DH=DE=DC=GF,
∴GF=BC,
∵∠B=∠AGF=72°,
∴FG∥BC,
∴四边形FGDC是平行四边形,
∴GD∥CA,
∵BD=CD,
∴AG=GB,
∴点G是线段AB的中点;
∵五边形DEFGH是正五边形,
∴BD=DH=GH=2,
设GB=x,
∵∠BDH=∠BGD,∠B=∠B,
∴△DHB∽△GBD,
∴,即
,
整理得:x2-2x-4=0,
解得:x=1±(负值舍去),
∴AG=GB=1+,
∴AB=2+2;
故答案为:2+2.

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