题目内容
工厂有一批长3dm、宽2dm的矩形铁片，为了利用这批材料，在每一块上裁下一个最大的圆铁片⊙O1之后（如图所示），再在剩余铁片上裁下一个充分大的圆铁片⊙O2．（1）求⊙O1、⊙O2的半径r1、r2的长；
（2）能否在剩余的铁片上再裁出一个与⊙O2 同样大小的圆铁片？为什么？
分析：（1）连接O1 O2，过O1作直线O1E∥AB，过O2作直线O2E∥BC，由相切两圆的性质可知O1E⊥O2E，在Rt△O1 O2E中利用勾股定理可求出r1、r2的长；
（2）由（1）的结论比较出r1、r2的大小，再根据CD=2dm，CD＜4r2即可得出结论．
（2）由（1）的结论比较出r1、r2的大小，再根据CD=2dm，CD＜4r2即可得出结论．
解答：
解：（1）如图，矩形ABCD中，AB=2r1=2dm，即r1=1dm．…（1分）
BC=3dm，⊙O2应与⊙O1及BC、CD都相切．
连接O1 O2，过O1作直线O1E∥AB，过O2作直线O2E∥BC，则O1E⊥O2E．
在Rt△O1 O2E中，O1 O2=r1+r2，O1E=r1-r2，O2E=BC-（r1+r2）．
由 O1 O22=O1E2+O2E2，
即（1+r2）2=（1-r2）2+（2-r2）2．
解得，r2=4±2
．
又∵r2＜2，
∴r1=1dm，r2=（4-2
）dm．…（3分）
（2）不能．…（4分）
∵r2=（4-2
）＞4-2×1.75=
（dm），
即r2＞
dm，
又∵CD=2dm，
∴CD＜4r2，故不能再裁出所要求的圆铁片．…（5分）
解：（1）如图，矩形ABCD中，AB=2r1=2dm，即r1=1dm．…（1分）BC=3dm，⊙O2应与⊙O1及BC、CD都相切．
连接O1 O2，过O1作直线O1E∥AB，过O2作直线O2E∥BC，则O1E⊥O2E．
在Rt△O1 O2E中，O1 O2=r1+r2，O1E=r1-r2，O2E=BC-（r1+r2）．
由 O1 O22=O1E2+O2E2，
即（1+r2）2=（1-r2）2+（2-r2）2．
解得，r2=4±2
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又∵r2＜2，
∴r1=1dm，r2=（4-2
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（2）不能．…（4分）
∵r2=（4-2
| 3 |
| 1 |
| 2 |
即r2＞
| 1 |
| 2 |
又∵CD=2dm，
∴CD＜4r2，故不能再裁出所要求的圆铁片．…（5分）
点评：本题考查的是相切两圆的性质、勾股定理及矩形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
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