Question

观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与-2，3与5，-2与-6，-4与3．并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？
答：______．
（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为-1，则A与B两点间的距离可以表示为______；若|x-6|=3，则x=______．
（3）结合数轴求出|x-2|+|x+1|的最小值为______，此时符合条件的整数x为______．

Answer 1

解：（1）由观察可知：所得距离与这两个数的差的绝对值相等；
故答案为：所得距离与这两个数的差的绝对值相等；

（2）结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论．

当x＜-1时，距离为-x-1，

当-1＜x＜0时，距离为x+1，

当x＞0，距离为x+1．综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为|x+1|；
若|x-6|=3，则x-6=±3，x=9或3；
故答案为：|x+1|；x=9或3；

（3）因为x为有理数，就是说x可以为正数，也可以为负数，也可以为0，所以要分情况讨论．
①当x＜-1时，x-2＜0，x+1＜0，所以|x-1|+|x+3|=-（x-2）-（x+1）=-2x-1＞3；
②当-1≤x＜2时，x-2＜0，x+1≥0，所以|x-1|+|x+3|=-（x-2）+（x+1）=3；
③当x≥2时，x-2≥0，x+1＞0，所以|x-2|+|x+1|=（x-2）+（x+1）=2x-1≥3；
综上所述，当x=2或-1时，所以|x-2|+|x+1|的最小值是3．
故答案为：3；2或-1．
分析：（1）直接借助数轴可以得出；
（2）点B表示的数为-1，所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置．那么点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点A可以位于数轴上的任意位置．那么，如何求出A与B两点间的距离呢？
结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论．

当x＜-1时，距离为-x-1，

当-1＜x＜0时，距离为x+1，

当x＞0，距离为x+1．综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为|x+1|；
若|x-6|=3，则x-6=±3，求出x即可；
（3）为x为有理数，所以要分类讨论x-1与x+3的正负，再去掉绝对值符号再计算．
点评：考查了数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便．事实上，|A-B|表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离．