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精英家教网已知:△ABC,射线BE、CF分别平分∠ABC和∠ACB,且BE、CF相交于点O.
(1)求证:∠BOC=90°+
12
∠A;
(2)若将条件“CF平分∠ACB”改为“CF平分与∠ACB相邻的外角”,其它条件不变.试问(1)中的结论是否仍成立?若成立说明理由;若不成立,请找出∠BOC与∠A的关系并予证明.
分析:(1)根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义进行证明;
(2)根据三角形的外角的性质以及角平分线的定义进行证明.
解答:精英家教网(1)证明:∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A.
∵BE平分∠ABC,CF平分∠ACB,
∴∠OBC=
1
2
∠ABC,∠OCB=
1
2
∠ACB.
∴∠OBC+∠OCB=90°-
1
2
∠A.
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=90°+
1
2
∠A.

(2)解:(1)中的结论不成立.
∠B0C=
1
2
∠A.
证明:∵∠ACD是△ABC的外角,
∠ACD=∠ABC+∠A,
∵BE平分∠ABC,CF平分∠ACD,
∴∠EBD=
1
2
∠ABC,∠FCD=
1
2
∠ACD.
∴∠FCD=∠EBD+
1
2
∠A.
∴∠FCD=∠EBD+∠BOC.
∴∠BOC=
1
2
∠A.
点评:解答此题的关键是画图,并熟练运用角平分线的性质、三角形的内角和定理及其推论进行证明探索,要熟记这些结论,便于简便计算.
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