题目内容
（2004•哈尔滨）已知：抛物线y=-x2-（m+3）x+m2-12与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜0，x2＞0，抛物线与y轴交于点C，OB=2OA．（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上，点A的左侧，求一点E，使△ECO与△CAO相似，并说明直线EC经过（1）中抛物线的顶点D；
（3）过（2）中的点E的直线y=
x+b与（1）中的抛物线相交于M、N两点，分别过M、N作x轴的垂线，垂足为M′、N′，点P为线段MN上一点，点P的横坐标为t，过点P作平行于y轴的直线交（1）中所求抛物线于点Q．是否存在t值，使S梯形MM'N'N：S△QMN=35：12？若存在，求出满足条件的t值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）可设出A、B的坐标，然后用韦达定理表示出两点横坐标的和与积，然后根据OB=2OA，即B点的横坐标为A点横坐标的2倍联立三式可得出m的值．即可求出抛物线的解析式；
（2）根据△ECO与△CAO相似，可通过相似三角形的对应边成比例线段求出OE的长，即可得出E点的坐标，进而可求出过E点直线的解析式，然后将抛物线顶点代入直线的解析式中进行判断即可；
（3）过M、N分别作直线PQ的垂线后可发现，三角形QMN可以以QP为底，以M、N两点的横坐标差为高来求得其面积，而梯形的面积可以以M、N两点的纵坐标的和与两点横坐标的差为高来求，因此三角形QMN和梯形的面积比实际是QM和M、N两点的纵坐标的比．可联立直线MN与抛物线的解析式求出M、N两点纵坐标的和，然后将t代入抛物线和直线MN的解析式中求出QP的表达式，根据题中给出的两个图形的面积比即可求得t的值．
解答：
解：（1）∵x1＜0，x2＞0．
∴OA=x1，OB=x2
∵x1，x2是方程-x2-（m+3）x+m2-12=0的两个实数根
∴x1+x2=-2（m+3）①，x1•x2=-2（m2-12）②x2=-2x1③
联立①，②，③整理得：m2+8m+16=0，
解得m=-4．
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4；
（2）设点E（x，0），则OE=-x．
∵△ECO与△CAO相似，
∴
，
，x=-8
∴点E（-8，0）
设过E、C两点的直线解析式为y=k′x+b′，
则有：
，
解得
∴直线EC的解析式为y=
x+4．
∵抛物线的顶点D（1，
），当x=1时，y=
∴点D在直线EC上；
（3）存在t值，使S梯形MM'N'N：S△QMN=35：12．
∵E（-8，0），
∴
×（-8）+b=0，
∴b=2，y=
x+2．
∴x=4（y-2）．
∴y=-
[4（y-2）2+4（y-2）+4]，
整理得8y2-35y+6=0，
设M（xm，ym）．
∴MM′=ym，NN′=yn，
∴ym，yn是方程8y2-35y+6=0的两个实数根，ym+yn=
∴S梯形=
（ym+yn）（xn-xm）
∵点P在直线y=
x+2上，点Q在（1）中抛物线上，
∴点P（t，
t+2）、点Q（t，-
t2+t+4）
∴PQ=-
t2+t+4-
t-2=-
t2-
t+2，
分别过M、N作直线PQ的垂线，垂足为G、H，则GM=t-xm，NH=xn-t
∴S△QMN=S△QMP+S△QNP=
PQ（xn-xm）
∵S梯形MM'N'N：S△QMN=35：12，
∴
=
，
整理得：2t2-3t-2=0，
解得t=-
，t=2．
因此当t=-
或t=2时，S梯形MM'N'N：S△QMN=35：12．
点评：本题为二次函数综合题，考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象交点等知识点，难度较大．
（2）根据△ECO与△CAO相似，可通过相似三角形的对应边成比例线段求出OE的长，即可得出E点的坐标，进而可求出过E点直线的解析式，然后将抛物线顶点代入直线的解析式中进行判断即可；
（3）过M、N分别作直线PQ的垂线后可发现，三角形QMN可以以QP为底，以M、N两点的横坐标差为高来求得其面积，而梯形的面积可以以M、N两点的纵坐标的和与两点横坐标的差为高来求，因此三角形QMN和梯形的面积比实际是QM和M、N两点的纵坐标的比．可联立直线MN与抛物线的解析式求出M、N两点纵坐标的和，然后将t代入抛物线和直线MN的解析式中求出QP的表达式，根据题中给出的两个图形的面积比即可求得t的值．
解答：
解：（1）∵x1＜0，x2＞0．∴OA=x1，OB=x2
∵x1，x2是方程-x2-（m+3）x+m2-12=0的两个实数根
∴x1+x2=-2（m+3）①，x1•x2=-2（m2-12）②x2=-2x1③
联立①，②，③整理得：m2+8m+16=0，
解得m=-4．
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4；
（2）设点E（x，0），则OE=-x．
∵△ECO与△CAO相似，
∴
，，x=-8∴点E（-8，0）
设过E、C两点的直线解析式为y=k′x+b′，
则有：
，解得
∴直线EC的解析式为y=
x+4．∵抛物线的顶点D（1，
），当x=1时，y=∴点D在直线EC上；
（3）存在t值，使S梯形MM'N'N：S△QMN=35：12．
∵E（-8，0），
∴
×（-8）+b=0，∴b=2，y=
x+2．∴x=4（y-2）．
∴y=-
[4（y-2）2+4（y-2）+4]，整理得8y2-35y+6=0，
设M（xm，ym）．
∴MM′=ym，NN′=yn，
∴ym，yn是方程8y2-35y+6=0的两个实数根，ym+yn=
∴S梯形=
（ym+yn）（xn-xm）∵点P在直线y=
x+2上，点Q在（1）中抛物线上，∴点P（t，
t+2）、点Q（t，-t2+t+4）∴PQ=-
t2+t+4-t-2=-t2-t+2，分别过M、N作直线PQ的垂线，垂足为G、H，则GM=t-xm，NH=xn-t
∴S△QMN=S△QMP+S△QNP=
PQ（xn-xm）∵S梯形MM'N'N：S△QMN=35：12，
∴
=，整理得：2t2-3t-2=0，
解得t=-
，t=2．因此当t=-
或t=2时，S梯形MM'N'N：S△QMN=35：12．点评：本题为二次函数综合题，考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、函数图象交点等知识点，难度较大．
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