Question

试说明：将和1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

40

写成最简分数

m

n

时，m不会是5的倍数．

Answer 1

分析：先全部通分，得到分母=40!，分子=40!+

40!

2

+

40!

3

+…+

40!

40

，再将分子与分母中5的倍数约掉，即可发现m不会是5的倍数．

解答：证明：通分得，1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

40

=

40!+ 40! 2 + 40! 3 +…+ 40! 40

40!

（40!=1×2×3×…×40）．
观察发现：分母包括9个5的乘积（5，10，15，20，25，30，35，40），即分母含有因数5⁹．如果m是5的倍数，那么分子至少包括10个5的乘积．
现在看分子：分子是40个数的和，其中每一个数都是1×2×3×…×40除以一个1到40的数，这40个数中有32个数是5⁹的倍数（就是除以的那个数不是5的倍数），7个数是5⁸的倍数（除以的那个数是5的倍数但不是25），1个数是5⁷的倍数（除以的数是25），所以，分子可以写成5⁷（5²A+5B+C），由于（5²A+5B）是5的倍数，而C不是5的倍数，所以（5²A+5B+C）不是5的倍数，即分子仅包含5⁷，而分母包含5⁹，所以约分后的分子（5²A+5B+C）不是5的倍数．
即将和1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

40

写成最简分数

m

n

时，m不会是5的倍数．

点评：本题考查了质因数分解，属于竞赛题型，有一定难度，找出通分后分子与分母的公因数5⁷是解题的关键．