题目内容
(2013•泸州)如图,点P1(x1,y1),点P2(x2,y2),…,点Pn(xn,yn)在函数y=
(x>0)的图象上,△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3,…,△PnAn-1An都是等腰直角三角形,斜边OA1、A1A2、A2A3,…,An-1An都在x轴上(n是大于或等于2的正整数),则点P3的坐标是
1 |
x |
(
+
,
-
)
3 |
2 |
3 |
2 |
(
+
,
-
)
;点Pn的坐标是3 |
2 |
3 |
2 |
(
+
,
-
)
n |
n-1 |
n |
n-1 |
(
+
,
-
)
(用含n的式子表示).n |
n-1 |
n |
n-1 |
分析:过点P1作P1E⊥x轴于点E,过点P2作P2F⊥x轴于点F,过点P3作P3G⊥x轴于点G,根据△P1OA1,△P2A1A2,△P3A2A3都是等腰直角三角形,可求出P1,P2,P3的坐标,从而总结出一般规律得出点Pn的坐标.
解答:解:过点P1作P1E⊥x轴于点E,过点P2作P2F⊥x轴于点F,过点P3作P3G⊥x轴于点G,
∵△P1OA1是等腰直角三角形,
∴P1E=OE=A1E=
OA1,
设点P1的坐标为(a,a),(a>0),
将点P1(a,a)代入y=
,可得a=1,
故点P1的坐标为(1,1),
则OA1=2a,
设点P2的坐标为(b+2,b),将点P2(b+2,b)代入y=
,可得b=
-1,
故点P2的坐标为(
+1,
-1),
则A1F=A2F=
-1,OA2=OA1+A1A2=2
,
设点P3的坐标为(c+2
,c),将点P3(c+2
,c)代入y=
,可得c=
-
,
故点P3的坐标为(
+
,
-
),
综上可得:P1的坐标为(1,1),P2的坐标为(
+1,
-1),P3的坐标为(
+
,
-
),
总结规律可得:Pn坐标为:(
+
,
-
).
故答案为:(
+
,
-
)、(
+
,
-
).
∵△P1OA1是等腰直角三角形,
∴P1E=OE=A1E=
1 |
2 |
设点P1的坐标为(a,a),(a>0),
将点P1(a,a)代入y=
1 |
x |
故点P1的坐标为(1,1),
则OA1=2a,
设点P2的坐标为(b+2,b),将点P2(b+2,b)代入y=
1 |
x |
2 |
故点P2的坐标为(
2 |
2 |
则A1F=A2F=
2 |
2 |
设点P3的坐标为(c+2
2 |
2 |
1 |
x |
3 |
2 |
故点P3的坐标为(
3 |
2 |
3 |
2 |
综上可得:P1的坐标为(1,1),P2的坐标为(
2 |
2 |
3 |
2 |
3 |
2 |
总结规律可得:Pn坐标为:(
n |
n-1 |
n |
n-1 |
故答案为:(
3 |
2 |
3 |
2 |
n |
n-1 |
n |
n-1 |
点评:本题考查了反比例函数的综合,涉及了点的坐标的规律变化,解答本题的关键是根据等腰三角形的性质结合反比例函数解析式求出P1,P2,P3的坐标,从而总结出一般规律,难度较大.
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