Question

【题目】如图，点A、B分别位于x轴负、正半轴上，OA、OB﹙OA＜OB﹚的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根，C（0，3），且S△ABC=6．

（1）求线段AB的长；

（2）求∠ABC的度数；

（3）过点C作CD⊥AC交x轴于点D，求点D的坐标；

（4）y轴上是否存在点P，使∠PBA=∠ACB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）45°；（3）D（9，0）；（4）（0，﹣9）或（0，9）．

【解析】试题分析：（1）由点C的坐标确定出OC的长，根据三角形ABC面积求出AB的长即可；

（2）根据OA、OB﹙OA＜OB﹚的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根，表示出OA+OB，即为AB的长，进而求出m的值，确定出方程，求出解得到A与B坐标，得到三角形OBC为等腰直角三角形，即可求出∠ABC的度数；

（3）如图1所示，作CD⊥AC，交x轴于点D，根据同角的余角相等及一对公共角，得到三角形AOC与三角形COD相似，由相似得比例求出OD的长，即可确定出点D的坐标；

（4）y轴上存在点P，使∠PBA=∠ACB，理由为：y轴上存在点P，使∠PBA=∠CAB，如图2所示，过点B作PB∥AC，设直线AC解析式为y=kx+b，把点A和点C坐标代入求出k与b的值，确定出直线AC解析式，进而求出直线PB解析式，求出点P坐标，再利用对称性求出点P′坐标即可．

试题解析：（1）∵点C（0，3），

∴OC=3，

∵S△ABC=6，

∴×AB×OC=6，

∴AB=4；

（2）∵OA、OB﹙OA＜OB﹚的长分别是关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2+2=0的两根，

∵OA+OB=4m，

∴4m=4，即m=1，

∴方程可化为：x2﹣4x+3=0，

解得：x1=1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∴△OBC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°；

（3）如图1所示，作CD⊥AC，交x轴于点D，

∵∠AOC=∠ACD=90°，

∴∠CAO+∠ACO=90°，∠ACO+∠DCO=90°，

∴∠CAO=∠DCO，

∴△AOC∽△COD，

∴

∴OD==9，

∴D（9，0）；

（4）y轴上存在点P，使∠PBA=∠CAB，如图2所示，

过点B作PB∥AC，

设直线AC解析式为y=kx+b，

把A（﹣1，0），C（0，3）代入得：

，

解得： ，

∴直线AC的解析式为：y=3x+3，

设直线PB解析式为y=3x+b，

把B（3，0）代入得：0=9+b，即b=﹣9，

∴直线PB的解析式为：y=3x﹣9，

∴P点的坐标为（0，﹣9），根据对称性得P′（0，9），

则y轴上存在点P，使∠PBA=∠ACB，此时P坐标为（0，﹣9）或（0，9）．