题目内容
如图，O是锐角三角形ABC内一点，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P是△ABC内不同于O的另一点；△A′BO′，△A′BP′分别由△AOB，△APB旋转而得，旋转角都为60°，则下列结论中正确的有（ ）①△O′BO为等边三角形，且A′，O′，O，C在一条直线上．
②A′O′+O′O=AO+BO．
③A′P′+P′P=PA+PB．
④PA+PB+PC＞AO+BO+CO．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】分析：由于△A′BO′，△A′BP′分别由△AOB，△APB旋转而得，旋转角都为60°，得到BO′=BO，BP′=BP，∠OBO′=∠PBP′=60°，∠A′O′B=∠AOB，O′A′=OA，P′A′=PA，则△BOO′和△BPP′都是等边三角形，得到∠BOO′=∠BO′O=60°，OO′=OB，而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，即可得到四个结论都正确．
解答：
解：连PP′，如图，
∵△A′BO′，△A′BP′分别由△AOB，△APB旋转而得，旋转角都为60°，
∴BO′=BO，BP′=BP，∠OBO′=∠PBP′=60°，∠A′O′B=∠AOB，O′A′=OA，P′A′=PA，
∴△BOO′和△BPP′都是等边三角形，
∴∠BOO′=∠BO′O=60°，OO′=OB，
而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，
∴∠A′O′O=∠O′OC=180°，
即△O′BO为等边三角形，且A′，O′，O，C在一条直线上，所以①正确；
∴A′O′+O′O=AO+BO，所以②正确；
A′P′+P′P=PA+PB，所以③正确；
又∵CP+PP′+P′A′＞CA′=CO+OO′+O′A′，
∴PA+PB+PC＞AO+BO+CO，所以④正确．
故选D．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质以及两点之间线段最短．
解答：
解：连PP′，如图，∵△A′BO′，△A′BP′分别由△AOB，△APB旋转而得，旋转角都为60°，
∴BO′=BO，BP′=BP，∠OBO′=∠PBP′=60°，∠A′O′B=∠AOB，O′A′=OA，P′A′=PA，
∴△BOO′和△BPP′都是等边三角形，
∴∠BOO′=∠BO′O=60°，OO′=OB，
而∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，
∴∠A′O′O=∠O′OC=180°，
即△O′BO为等边三角形，且A′，O′，O，C在一条直线上，所以①正确；
∴A′O′+O′O=AO+BO，所以②正确；
A′P′+P′P=PA+PB，所以③正确；
又∵CP+PP′+P′A′＞CA′=CO+OO′+O′A′，
∴PA+PB+PC＞AO+BO+CO，所以④正确．
故选D．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质以及两点之间线段最短．
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