已知,抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.

(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);

(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;

(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.

【答案】(1)b=﹣2a,顶点D的坐标为(﹣,﹣);(2);(3) 2≤t<

【解析】试题分析:(1)把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系,可用a表示出抛物线解析式,化为顶点式可求得其顶点D的坐标;
(2)把点代入直线解析式可先求得m的值,联立直线与抛物线解析式,消去y,可得到关于x的一元二次方程,可求得另一交点N的坐标,根据a<b,判断a<0,确定D、M、N的位置,画图1,根据面积和可得的面积即可;
(3)先根据a的值确定抛物线的解析式,画出图2,先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时,t的值,再确定当线段一个端点在抛物线上时,t的值,可得:线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围.

试题解析:(1)∵抛物线有一个公共点M(1,0),

∴a+a+b=0,即b=?2a,

∴抛物线顶点D的坐标为

(2)∵直线y=2x+m经过点M(1,0),

∴0=2×1+m,解得m=?2,

∴y=2x?2,

∴(x?1)(ax+2a?2)=0,

解得x=1或

∴N点坐标为

∵a<b,即a<?2a,

∴a<0,

如图1,设抛物线对称轴交直线于点E,

∵抛物线对称轴为

设△DMN的面积为S,

(3)当a=?1时,

抛物线的解析式为:

解得:

∴G(?1,2),

∵点G、H关于原点对称,

∴H(1,?2),

设直线GH平移后的解析式为:y=?2x+t,

?x2?x+2=?2x+t,

x2?x?2+t=0,

△=1?4(t?2)=0,

当点H平移后落在抛物线上时,坐标为(1,0),

把(1,0)代入y=?2x+t,

t=2,

∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点,t的取值范围是

【题型】解答题
【结束】
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如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(c>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OB=OC=3,顶点为M.

(1)求二次函数的解析式;

(2)点P为线段BM上的一个动点,过点P作x轴的垂线PQ,垂足为Q,若OQ=m,四边形ACPQ的面积为S,求S关于m的函数解析式,并写出m的取值范围;

(3)探索:线段BM上是否存在点N,使△NMC为等腰三角形?如果存在,求出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.

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