Question

已知：如图，矩形ABCD中AB：BC=5：6，点E在BC上，点F在CD上，EC=

1

6

BC，FC=

3

5

CD，FG⊥AE与G．求证：AG=4GE．

Answer 1

分析：易得

AD

CF

=

DF

CE

=2，则△CEF∽△DFA，得

AF

EF

=2与∠AFE=90°．所以通过相似三角形：△AFE∽△AGF的对应边成比例得到

AF

EF

=

AG

FG

=2，则AG=2FG．△AFG∽△FEG的对应边成比例得到

AF

EF

=

FG

EG

=2，则EG=

1

2

FG，由此易证得结论．

解答：证明：如图∵矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AB：BC=5：6，EC=

1

6

BC，FC=

3

5

CD，
∴DF=

2

5

CD．
∴

AD

CF

=

BC

3 5 AB

=2，

DF

CE

=

2 5 CD

1 6 BC

=

2 5 AB

1 6 BC

=2，
∴

AD

CF

=

DF

CE

．
又∵∠ECF=∠FDF，
∴△CEF∽△DFA，

AF

EF

=

AD

CF

=2，∠AFD=∠FEC，
∴∠AFD+∠CFE=∠FEC+∠CFE=90°，
∴∠AFE=90°．
又∵FG⊥AE，
∴△AFE∽△AGF，△AFG∽△FEG，
∴

AF

AG

=

EF

FG

，即

AF

EF

=

AG

FG

=2，则AG=2FG．

AF

EF

=

FG

EG

=2，则EG=

1

2

FG，
∴AG=4EG．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质．此题难度较大，知识综合性较强．在判定两个三角形相似时，要注意充分利用公共角这一条件．