Question

已知：矩形OABC中，A（6，0），B（6，4），F为AB边的中点，直线EF交边BC于E，且sin∠BEF=，P为线段EF上一动点，PM⊥OA于M，PN⊥OC于N．
（1）求直线EF的函数解析式并注明自变量取值范围；
（2）求矩形ONPM的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）矩形ONPM、矩形OABC有可能相似吗？若相似，求出此时点P的坐标；若不相似，请简要说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据A（6，0），B（6，4）两点的坐标，进而可以得出F点的坐标，再利用sin∠BEF=，即可得出EF的长，进而得出BE的长，即可得出E点坐标，进而求出直线EF的函数解析式；
（2）设矩形ONPM的面积为S，表示出OM，NO，再利用二次函数最值求出即可；
（3）利用矩形ONPM、矩形OABC相似时，对应边比值相等求出即可．
解答：解：（1）∵F为AB中点，AB=4，
∴AF=2，BF=2，F（6，2），
在Rt△BEF中，EF===2，
∴BE=，
∴CE=6-4=2，
∴E（2，4），
设直线EF的函数解析式为y=kx+b，
把E（2，4）、F（6，2）分别代入
解得：，
∴直线EF的函数解析式为（2≤x≤6）．

（2）设矩形ONPM的面积为S，
∵点P在直线上，
∴OM=x，ON=，
∴S==，
∴矩形ONPM的面积S的最大值为，
此时，x=5，点P的坐标为（5，）．

（3）当矩形ONPM、矩形OABC相似时，
有或，
∴或，
∴或，且满足2≤x≤6，
此时，点P的坐标为或．
点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的最值和矩形的相似性质等知识，利用数形结合得出E，F点的坐标以及根据二次函数最值得出是解决问题的关键．