题目内容
【题目】我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．
特例探索
（1）如图1，当∠ABE=45°，c=2
时，a=_____________，b=_____________．
如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a=_____________，b=_____________．
归纳证明
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
拓展应用
（3）如图4，在ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2
，AB=3，求AF的长．
【答案】（1）2
，2，2
，2
；（2）猜想：a2+b2=5c2，证明见解析；（3）4．
【解析】
试题分析：（1）∵AF⊥BE，∠ABE=45°，∴AP=BP=
AB=2，∵AF，BE是△ABC的中线，∴EF∥AB，EF=
AB=
，∴∠PFE=∠PEF=45°，∴PE=PF=1，在Rt△FPB和Rt△PEA中，AE=BF=
=
，∴AC=BC=2，∴a=b=2，如图2，连接EF，同理可得：EF=×4=2，∵EF∥AB，∴△PEF～△ABP，∴
，在Rt△ABP中，AB=4，∠ABP=30°，∴AP=2，PB=2
，∴PF=1，PE=，在Rt△APE和Rt△BPF中，AE=，BF=，∴a=2，b=2，故答案为：2，2，2，2；
（2）猜想：a2+b2=5c2，如图3，连接EF，设∠ABP=α，∴AP=csinα，PB=ccosα，由（1）同理可得，PF=
PA=
，PE=
=
，AE2=AP2+PE2=c2sin2α+
，BF2=PB2+PF2=
+c2cos2α，∴
=c2sin2α+，
=+c2cos2α，∴
+
=
+c2cos2α+c2sin2α+
，∴a2+b2=5c2；
（3）如图4，连接AC，EF交于H，AC与BE交于点Q，设BE与AF的交点为P，∵点E、G分别是AD，CD的中点，∴EG∥AC，∵BE⊥EG，∴BE⊥AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=2，∴∠EAH=∠FCH，∵E，F分别是AD，BC的中点，∴AE=AD，BF=BC，∴AE=BF=CF=AD=，∵AE∥BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF=AB=3，AP=PF，在△AEH和△CFH中，
，∴△AEH≌△CFH，∴EH=FH，∴EQ，AH分别是△AFE的中线，由（2）的结论得：AF2+EF2=5AE2，∴AF2=5
﹣EF2=16，∴AF=4．
