Question

如图，已知点M是以AB为直径的半圆上的一个三等分点，点N是弧BM的中点，点P是直径AB上的点．若⊙O的半径为1．
（1）用尺规在图中作出点P，使MP+NP的值最小（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求MP+NP的最小值．

Answer 1

分析：（1）作点M关于直线AB的对称点M′，连接M′N交直径AB于点P，则点P即为所求点，M′N的长即为MP+NP的最小值；
（2）连接OM′，ON，先判断出△OM′N的形状，再根据勾股定理求解即可．

解答：解：（1）如图1所示；

（2）如图2，连接OM′，ON，
∵点M是以AB为直径的半圆上的一个三等分点，点N是弧BM的中点，
∴∠BON=360°×

1

12

=30°，
∠M′OB=360°×

1

6

=60°，
∴∠M′ON=90°，
∴△OM′N是等腰直角三角形，
∴M′N=

ON2+OM′2

=

12+12

=

2

．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知两点之间，线段最短是解答此题的关键．