题目内容

（2012•乐山）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．
①求证：BD⊥CF；
②当AB=4，AD=
2
时，求线段BG的长．
分析：（1）△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，易证得△BAD≌△CAF，根据全等三角形的对应边相等，即可证得BD=CF；
（2）①由△BAD≌△CAF，可得∠ABM=∠GCM，又由对顶角相等，易证得△BMA∽△CMG，根据相似三角形的对应角相等，可得BGC=∠BAC=90°，即可证得BD⊥CF；
②首先过点F作FN⊥AC于点N，利用勾股定理即可求得AE，BC的长，继而求得AN，CN的长，又由等角的三角函数值相等，可求得AM=
1
3
AB=
4
3
，然后利用△BMA∽△CMG，求得CG的长，再由勾股定理即可求得线段BG的长．
解答：解（1）BD=CF成立．
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
AB=AC
∠BAD=∠CAF
AD=AF

∴△BAD≌△CAF（SAS）．
∴BD=CF．…（3分）

（2）①证明：设BG交AC于点M．
∵△BAD≌△CAF（已证），
∴∠ABM=∠GCM．
∵∠BMA=∠CMG，
∴△BMA∽△CMG．
∴∠BGC=∠BAC=90°．
∴BD⊥CF．…（6分）

②过点F作FN⊥AC于点N．
∵在正方形ADEF中，AD=DE=
2
，
∴AE=
AD2+DE2
=2，
∴AN=FN=
1
2
AE=1．
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，
∴CN=AC-AN=3，BC=
AB2+AC2
=4
2
．
∴在Rt△FCN中，tan∠FCN=
FN
CN
=
1
3
．
∴在Rt△ABM中，tan∠ABM=
AM
AB
=tan∠FCN=
1
3
．
∴AM=
1
3
AB=
4
3
．
∴CM=AC-AM=4-
4
3
=
8
3
，BM=
AB2+AM2
=
4
10
3
．…（9分）
∵△BMA∽△CMG，
∴
BM
BA
=
CM
CG
．
∴
4
10
3
4
=
8
3
CG
．
∴CG=
4
10
5
．…（11分）
∴在Rt△BGC中，BG=
BC2-CG2
=
8
10
5
．…（12分）
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
练习册系列答案
相关题目
（2012•乐山）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，下列式子成立的是（　　）
（2012•乐山）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；
④点C到线段EF的最大距离为
2
．
其中正确结论的个数是（　　）
（2012•乐山）如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，E、F、G、H是切点，点P是优弧
EFH
上异于E、H的点．若∠A=50°，则∠EPH=
65°
65°
．
（2012•乐山）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）在（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积．
（2012•乐山）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在码头西端M的正西方向30 千米处有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向，且与O相距20
3
千米的A处；经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处．
（1）求该轮船航行的速度；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：
2
≈1.414，
3
≈1.732）

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网