题目内容
【题目】如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于E，交△ABC的外接圆⊙O于D.
(1)求证：△ABE∽△ADC；
(2)连接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形OBDC是菱形．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）根据圆周角定理求出
，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）根据垂径定理求出
，根据线段垂直平分线性质得出
，
，根据菱形的判定推出即可.
证明：(1)∵∠BAC的平分线为AD，
∴∠BAE＝∠CAD，
，
∴△ABE∽△ADC；
(2)∵∠BAD＝∠CAD，
∴
＝
，
∵OD为半径，
∴DO⊥BC（垂径定理），
∵F为OD的中点，
∴OB＝BD，OC＝CD，
OB＝OC，
∴OB＝BD＝CD＝OC，
∴四边形OBDC是菱形．
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