题目内容

某校要用地砖镶嵌艺术教室的地面，可以选择的方案有许多种，请你为其设计．
（1）如果在以下形状的地砖中选取一种镶嵌地面，可以选择的有______．（填序号）　
①正方形 ②正五边形 ③正六边形 ④正八边形 ⑤任意三角形 ⑥任意四边形
（2）如果在正三角形、正方形、正八边形这三种形状的地砖中，任意选取其中的两种，有几种可行的方案？
（3）如果在正三角形、正六边形、正方形、正十二边形这四种形状的地砖中，任意选取其中三种，有几种可行的方案？

解：（1）①正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；
②正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；
③正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；
④正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能密铺．
⑤任意三角形 ⑥任意四边形都可以镶嵌平面，

（2）只有正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°，∵3×60°+2×90°=360°，能密铺．
正八边形的每个内角是135°，正方形的每个内角是90°，∵2×135°+90°=360°，能密铺．
故共有两种可行的方案；

（3）由题意可得出：
正三角形、正四边形，正十二边形可以镶嵌地面；正四边形，正六边形，正十二边形可以镶嵌地面；故有2种可行的方案．
故答案为：①③⑤⑥．
分析：（1）由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除360°，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能．
（2）分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件，分别计算即可求出答案．
（3）分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件，分别计算即可求出答案．
点评：此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°，任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．