Question

操作：如图1，在正方形ABCD中，∠EAF=45°根据要求画出图形并解答：

（1）将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△AD′F′，请在图中画出△AD′F′；
（2）连接EF，写出图中的两对全等三角形，并说明理由；
探究：正方形ABCD的边长为6，将一块含45°的三角板按如图所示的位置摆放，锐角顶点绕点A旋转，分别交正方形的边于E、F两点．
（1）当EF=5时，求△AEF的面积
（2）求此时的旋转角∠BAE的正切值．

Answer 1

解：操作：（1）画图如图所示．

（2）全等的三角形有：①△ADF≌△ABF′，②△AEF≌△AEF′．（2分

证明：①∵△ADF绕顶点A逆时针旋转90°得△ABF'，
∴△ADF≌△ABF'．
②在正方形ABCD中，
AB=CD，∠BAD=90°．
又∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°．
又∵△ADF≌△ABF′，
∴AF=AF′∠BAF′=∠DAF，
∴∠BAF′+∠BAE=45°，
即∠F'AE=45°，
∴∠F′AE=∠EAF．
在△AEF′与△AEF中，
AF'=AF，∠F'AE=∠EAF，AE=AE，
∴△AEF′≌△AEF．

（2）探究：①延长EB至F′，使BF'=DF，连接AF′，EF．
由操作知：△AEF′≌△AEF，
∴EF=EF′，
则．（9分
②过点A作AM⊥EF，垂足为M．

∵△AEF'≌△AEF，
∴AB=AM．
在Rt△ABE与Rt△AME中，
∴Rt△ABE≌Rt△AME，
∴BE=EM．
令BE=EM=x，
∴BF′=FM=5-x，
又∵BF′=DF，
∴DF=5-x，
∴FC=6-（5-x）=1+x．
EC=BC-BE=6-x，
在Rt△EFC中EF²=EC²+FC²，
∴25=（6-x）²+（1+x）²，
∴x₁=2，x₂=3，
即BE=2或BE=3．
又∵AB=6，
∴．
分析：（1）画图如图所示．就是△ADF旋转到△ABF的位置；
（2）全等的三角形有：①△ADF≌△ABF'，②△AEF≌△AEF'．其中△ADF≌△ABF'由旋转直接可以得到；由△ADF≌△ABF'可以知道：AF=AF'∠BAF'=∠DAF，根据正方形的性质可以得到AB=CD，∠BAD=90°，而∠EAF=45°，所以可以得到∠F'AE=∠EAF，即可以证明△AEF'≌△AEF；
探究（1）延长EB至F'，使BF'=DF，连接AF'，EF．根据操作可以知道△AEF'≌△AEF，由此推出EF=EF'，所以△AEF的面积就是△AEF'的面积，而它的面积可以求出，也就求出了△AEF的面积；
（2）过点A作AM⊥EF，垂足为M，由（1）推出AB=AM，即可以证明Rt△ABE≌Rt△AME，再根据全等三角形的性质可以得到BE=EM，令BE=EM=x，然后用x分别表示BF′=FM=5-x=DF，CF=1+x，EC=BC-BE=6-x，然后在Rt△EFC中根据勾股定理得到EF²=EC²+FC²，由此建立关于x的方程，解方程求出x，也就可以求出旋转角∠BAE的正切值．
点评：此题主要考查正方形的性质，利用正方形的性质来探究图形的变换规律．