Question

【题目】如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴OB=OD（矩形的对角线互相平分），

AE∥CF（矩形的对边平行）．

∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF．

∴△BOE≌△DOF（AAS）

（2）解：当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OC（矩形的对角线互相平分）．

又∵由（1）△BOE≌△DOF得，OE=OF，

∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

又∵EF⊥AC，

∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）

【解析】（1）由矩形的性质：OB=OD，AE∥CF证得△BOE≌△DOF；（2）若四边形EBFD是菱形，则对角线互相垂直，因而可添加条件：EF⊥AC，

当EF⊥AC时，∠EOA=∠FOC=90°，

∵AE∥FC，

∴∠EAO=∠FCO，矩形对角线的交点为O，

∴OA=OC，

∴△AOE≌△COF，

∴OE=OF，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

∴四边形EBFD是菱形．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用菱形的判定方法和矩形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．