Question

学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为1.6m的小明（AB）的影子BC长是3m，而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6m．
（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；
（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；
（3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点B₁处时，求其影子B₁C₁的长；当小明继续走剩下路程的

1

3

到B₂处时，求其影子B₂C₂的长；当小明继续走剩下路程的

1

4

到B₃处，…按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的

1

n+1

到B_n处时，其影子B_nC_n的长为

 

m．（直接用n的代数式表示）

Answer 1

分析：（1）确定灯泡的位置，可以利用光线可逆可以画出；
（2）要求垂直高度GH可以把这个问题转化成相似三角形的问题，图中△ABC∽△GHC由它们对应成比例可以求出GH；
（3）的方法和（2）一样也是利用三角形相似，对应相等成比例可以求出，然后找出规律．

解答：解：（1）如图（2分）

（2）∵AB⊥HC，GH⊥HC，
∴AB∥GH∴△ABC∽△GHC，
∴

AB

GH

=

BC

HC

，（3分）
∵AB=1.6m，BC=3m，HB=6m
∴

1.6

GH

=

3

6+3

，
∴GH=4.8（m）．（4分）

（3）同理△A₁B₁C₁∽△GHC₁，
∴

A1B1

GH

=

B1C1

HC1

，
设B₁C₁长为x（m），则

1.6

4.8

=

x

x+3

，
解得：x=

3

2

（m），即B1C1=

3

2

（m）．（5分）
同理

1.6

4.8

=

B2C2

B2C2+2

，
解得B₂C₂=1（m），（6分）
∴

1.6

4.8

=

BnCn

BnCn+ 1 n+1 ×6

，
解得：BnCn=

3

n+1

．（7分）

点评：本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例解题，此题有三问，比较麻烦，但方法一样．