Question

如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，切点为A，D为⊙O上一点，AD与OC相交于点E，且∠DAB=∠C
（1）求证：OC∥BD；
（2）若AO=5，AD=8，求线段CE的长．

Answer 1

（1）证明：∵AC与⊙O相切，切点为A，
∴∠CAB=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠D=90°，
∴∠CAB=∠D，
∵∠DAB=∠C，
∴∠COA=∠B，
∴OC∥BD；

（2）解：∵AO=5，AD=8，
∴BD=6，
∵OC∥BD，AO=BO，
∴OE=BD=3，
∵OC∥BD；
∴∠AOC=∠B，
∵∠CAB=90°，∠D=90°，
∴△AOC∽△DBA，
∴=，
∴=，
∴CO=，
∴CE=CO-OE=-3=．
分析：（1）由切线的性质，可证得到∠COA=∠B，即可证得两线段平行；
（2）利用相似三角形得到比例式，根据DB的长即可求得OE的长．
点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．