题目内容
如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）画AD∥BC（D为格点），连接CD；
（2）线段CD的长为
| 5 |
| 5 |
2
| 5 |
2
；| 5 |
（3）请你在△ACD的三个内角中任选一个锐角，若你所选的锐角是
∠CAD
∠CAD
，则它所对应的正弦函数值是
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
（4）若E为BC中点，F为AD中点．则tan∠CAE的值是
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
菱形
菱形
，面积为5
5
．分析：（1）根据B到A是向右2格向上1个，所以从点C向右2格向上1格，即为点D所在的格点位置；
（2）根据网格结构以及勾股定理列式进行计算即可求解；
（3）根据勾股定理求出AD的长度，然后根据勾股定理逆定理判定△ACD是直角三角形，然后选择一个角，再根据正弦定义解答；
（4）利用网格结构，根据正切定义列式进行计算即可求解，根据图形可以判定四边形AECF是平行四边形，然后证明AE=AF，从而得到四边形AECF是菱形，求出CF的长，以及CF边上的高，然后根据菱形的面积公式列式计算即可．
（2）根据网格结构以及勾股定理列式进行计算即可求解；
（3）根据勾股定理求出AD的长度，然后根据勾股定理逆定理判定△ACD是直角三角形，然后选择一个角，再根据正弦定义解答；
（4）利用网格结构，根据正切定义列式进行计算即可求解，根据图形可以判定四边形AECF是平行四边形，然后证明AE=AF，从而得到四边形AECF是菱形，求出CF的长，以及CF边上的高，然后根据菱形的面积公式列式计算即可．
解答：
解：（1）如图所示；
（2）CD=
=
，
AC=
=2
；
（3）选∠CAD，则∵AD=
=5，
∴CD2+AC2=（
）2+（2
）2=25=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∴若选∠CAD，则sin∠CAD=
=
，
若选∠ADC，则sin∠ADC=
=
；
（4）tan∠CAE=
=
，
根据图形，四边形ABCD是平行四边形，
∵E为BC中点，F为AD中点，
∴AF∥CE且AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵CF=
AD=AF=
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴平行四边形AECF是菱形，
∴S=
×2=5．
解：（1）如图所示；（2）CD=
| 12+22 |
| 5 |
AC=
| 42+22 |
| 5 |
（3）选∠CAD，则∵AD=
| 42+32 |
∴CD2+AC2=（
| 5 |
| 5 |
∴△ACD是直角三角形，
∴若选∠CAD，则sin∠CAD=
| CD |
| AD |
| ||
| 5 |
若选∠ADC，则sin∠ADC=
| AC |
| AD |
2
| ||
| 5 |
（4）tan∠CAE=
| 2 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
根据图形，四边形ABCD是平行四边形，
∵E为BC中点，F为AD中点，
∴AF∥CE且AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵CF=
| 1 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∴平行四边形AECF是菱形，
∴S=
| 5 |
| 2 |
点评：本题考查了复杂作图，勾股定理，勾股定理逆定理，以及解直角三角形，熟悉网格结构准确作出图形是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
24、如图，在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即△A1B1C1和△A2B2C2．
已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC的值．
（2012•阜新）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均落在格点上．
如图，在由边长为1的小正方形组成的方格纸中，有两个全等的三角形，即△A1B1C1和△A2B2C2．请你指出在方格纸内如何运用平移、旋转变换，将△A1B1C1重合到△A2B2C2上．
如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：