Question

如图，已知：PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B，C，PD⊥AB于D，延长PD交AO的延长线于E，连接CE并延长，交⊙O于F，连接AF．
（1）求证：PD•PE=PB•PC；
（2）求证：PE∥AF；
（3）连接AC，若AE：AC=1：，AB=2，求EF的长．

Answer 1

（1）证明：∵PA切⊙O于点A，
∴AO⊥PA．
∵PD⊥AB，
∴=cos∠APE=．
∴PA²=PD×PE…①
∵PBC是⊙O的割线，PA为⊙O切线，
∴PA²=PB×PC…②
联立①②，得PD•PE=PB•PC；

（2）证明：∵PD•PE=PB•PC（已证），
∴，
∵∠BPD为公共角，
∴△BDP∽△EPC，
∴∠PBD=∠PEC，
∵四边形ABCF内接圆，
∴∠ABP=∠AFC，
∴∠AFC=∠PEC，
∴PE∥AP；

（3）解：∵AP是⊙O的切线，
∴∠PAB=∠PCA，
∵∠APB=∠CPA，
∴△PAB∽△PCA，
∴=…①，
∵∠PAE=∠ADP=90°，
∴∠APD+∠PAD=90°，
∠APD+∠AEP=90°，
∴∠PAB=∠AEP=∠FAE，
∵∠ABP=∠F，
∴△AEF∽△APB，
∴=，即=…②
联立①②，有=，
∴EF=AE×=×2=．
分析：（1）欲证PD•PE=PB•PC，在此题所给的已知条件中，∠APE的余弦值在△APD和△APE中，有两种表示方法，从而得出一个等积式，根据切割线定理，再得到一个等积式，从而借助于PA²得到PD•PE=PB•PC；
（2）可证△PBD∽△PEC，再根据相似三角形的性质和圆内接四边形的性质得到∠PEC=∠AFC，根据平行线的判定即可得出结论；
（3）分别证明△PAB∽△PCA，△AEF∽△APB，得出两个比例式，联立有=，再代值即可求出EF的长．
点评：此题考查了三角函数、切割线定理，以及相似的判定和性质，比较全面，有一定的难度．