Question

（2011•徐汇区二模）如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3：2．
（1）求直线AD和抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点F，点Q为直线AD上一点，且△ABQ与△ADF相似，直接写出点Q点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据△ABE与△ABC的面积之比为3：2，E（2，6）可求出C、D两点的坐标，用待定系数法可求出直线AD的解析式，进而可求出A点坐标，再根据A、C、E三点的坐标即可求出抛物线的解析式；
（2）先根据△ABQ与△CED相似求出B、F两点的坐标，再根据△ABQ∽△AFD或△ABQ∽△ADF时三角形的对应边成比例即可求出AQ的长，从而求出Q点的坐标．
解答：解：（1）∵△ABE与△ABC的面积之比为3：2，E（2，6），
∴C（0，4），D（0，2），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
由题意得，解得，直线AD的解析式为y=2x+2，
∴A（-1，0）．
抛物线经过A、C、E三点，得解得．
所求抛物线的解析式为：y=-x²+3x+4．

（2）当△ABQ与△CED相似时，
由（1）有B（4，0），F（，0）
①若△ABQ∽△AFD，=，即=，AQ=2，Q（1，4）或（-3，-4）
②若△ABQ∽△ADF，=，即=，AQ=，Q（，5）或（-，-5）．
点评：本题考查的是用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，在解答（2）时要注意分类讨论．