题目内容

阅读材料：“最值问题”是数学中的一类较具挑战性的问题．其实，数学史上也有不少相关的故事，如下即为其中较为经典的一则：海伦是古希腊精通数学、物理的学者，相传有位将军曾向他请教一个问题--如图1，从A点出发，到笔直的河岸l去饮马，然后再去B地，走什么样的路线最短呢？海伦轻松地给出了答案：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B 的值最小．
解答问题：
（1）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；
（2）如图3，已知菱形ABCD的边长为6，∠DAB=60°．将此菱形放置于平面直角坐标系中，各顶点恰好在坐标轴上．现有一动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动．当到达点B时，整个运动停止．
①为使点P能在最短的时间内到达点B处，则点M的位置应如何确定？
②在①的条件下，设点P的运动时间为t（s），△PAB的面积为S，在整个运动过程中，试求S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．

解：（1）延长AO交圆O于M，连接CM交OB于P，连接AC，
则此时AP+PC=PC+PM=CM最小，
∵AM是直径，∠AOC=60°，
∴∠ACM=90°，∠AMC=30°，
∴AC= $\text{[math]}$ AM=2，AM=4，由勾股定理得：CM= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ．
答：PA+PC的最小值是2 $\text{[math]}$ ．

（2）①根据动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→C的方向，向点C运动．当到达点C后，立即以相同的速度返回，返回途中，当运动到x轴上某一点M时，立即以每秒1个单位的速度，沿M→B的方向，向点B运动，
即为使点P能在最短的时间内到达点B处，
∴当PB⊥AB时，符合题意，
∵菱形ABCD，AB=6，∠DAB=60°，
∴∠BAO=30°，AB=AD，AC⊥BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=6，BO=3，由勾股定理得：AO=3 $\text{[math]}$ ，
在Rt△APB中，AB=6，∠BAP=30°，BP= $\text{[math]}$ AP，由勾股定理得：AP=4 $\text{[math]}$ ，BP=2 $\text{[math]}$ ，
∴点M的位置是（ $\text{[math]}$ ，0）时，用时最少．
②当0＜t≤3 $\text{[math]}$ 时，AP=2t，
∵菱形ABCD，
∴∠OAB=30°，
∴OB= $\text{[math]}$ AB=3，
由勾股定理得：AO=CO=3 $\text{[math]}$ ，
∴S= $\text{[math]}$ AP×BO= $\text{[math]}$ ×2t×3=3t；
③当3 $\text{[math]}$ ＜t≤4 $\text{[math]}$ 时，AP=6 $\text{[math]}$ -（2t-6 $\text{[math]}$ ）=12 $\text{[math]}$ -2t，

∴S= $\text{[math]}$ AP×BO= $\text{[math]}$ ×（12 $\text{[math]}$ -2t）×3=18 $\text{[math]}$ -3t．
当4 $\text{[math]}$ ＜t≤6 $\text{[math]}$ 时，
S= $\text{[math]}$ AB×BP= $\text{[math]}$ ×6×[2 $\text{[math]}$ -（t-4 $\text{[math]}$ ）]=-3t+18 $\text{[math]}$ ，
答：S与t之间的函数关系式是当3 $\text{[math]}$ ＜t≤4 $\text{[math]}$ 时，S=18 $\text{[math]}$ -3t；当0＜t≤3 $\text{[math]}$ 时，S=3t．
当4 $\text{[math]}$ ＜t≤6 $\text{[math]}$ 时，S=-3t+18 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）延长AO交圆于M，连接CM交OB于P，连接AC，求出∠ACM、∠M，求出AC、根据勾股定理求出PM即可；
（2）①根据运动速度不同以及运动距离，得出当PB⊥AB时，点P能在最短的时间内到达点B处；
②根据三角形的面积公式求出从A到C时，s与t的关系式和从C到（ $\text{[math]}$ ，0）以及到B的解析式．
点评：本题主要考查对含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的面积，轴对称-最短问题，圆周角定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键．

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仔细阅读以下内容解决问题：
偏微分方程，对于多个变量的求最值问题相当有用，以2001年全国联赛第二试第一题为例给同学们作一介绍，问题建立数学模型后实际上是求：
y=5a²+6ab+3b²-30a-20b+46的最小值，先介绍求导公式，（xⁿ）′=nx^n-1，a′=0（a为常数），当y_a′=10a+6b-30=0，y_b′=6a+6b-20=0时，可取得最小值（y_a′的意思是关于a求导，把b看作常数，（5a²）′=10a，（6ab）′=6b，（3a²-20b+46）′=0）．解方程，得a=

，b=

，代入可得y=

，即是最小值．
同学们：以上内容很有挑战性，确保读懂后请解答下面问题：运用阅读材料中的知识求s=4x²+2y²+4xy-12x-8y+17的最小值

．

阅读以下的材料：
如果两个正数a，b，即a>0，b>0，有下面的不等式：
当且仅当a=b时取到等号
我们把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具。下面举一例子：
例：已知x>0，求函数的最小值。
解：令a=x，b=，则有，得，当且仅当时，即x=2时，函数有最小值，最小值为2。
根据上面回答下列问题：
①已知x>0，则当x=____时，函数取到最小值，最小值为____；
②用篱笆围一个面积为100m²的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆周长是多少；
③已知x>0，则自变量x取何值时，函数取到最大值，最大值为多少？