Question

某公司准备投资开发甲、乙两种新产品，通过市场调研发现：如果单独投资甲种产品，则所获利润y₁（万元）与投资金额x（万元）之间满足正比例函数关系：y₁=

4

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x；如果单独投资乙种产品，则所获利润y₂（万元）与投资金额x（万元）之间满足二次函数关系：y₂=ax²+bx，已知y₂与x的部分对应值如下表所示：

x	1	5
y2	3.8	15

（1）求a，b的值；
（2）如果公司准备投资10万元同时开发甲、乙两种新产品，设公司所获得的总利润为P（万元），试写出P与乙种产品的投资金额x之间的函数关系式，并求出获得最大利润的投资方案．

Answer 1

分析：（1）把x=1，y=3.8；x=5，y=15，分别代入y₂=ax²+bx，可求出a，b的值；
（2）设投资x万元生产乙产品，则投资（10-x）万元生产甲产品求出w与x的函数关系式，把w与x的函数关系式用配方法化简可解．

解答：解：（1）把x=1，y=3.8；x=5，y=15，分别代入y₂=ax²+bx得，

3.8=a+b 15=25a+5b

，
解得：a=-0.2，b=4；

（2）设投资x万元生产乙产品，则投资（10-x）万元生产甲产品，则
P=

4

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（10-x）-0.2x²+4x
=-0.2x²+3.2x+8
=-0.2（x-8）²+20.8，
∴投资8万元生产乙产品，1万元生产甲产品可获得最大利润20.8万元．

点评：本题考查了二次函数的应用中求最值的问题．当a＞0时函数有最小值；当a＜0时函数有最大值．求最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次项系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x²-2x+5，y=3x²-6x+1等用配方法求解比用公式法简便．