题目内容
对于函数图象上的点有如下定义：若当自变量x=x时，其函数值y恰好也为x，则点（x，x）为这个函数的和谐点，已知函数
，请运用定义进行解答（1）若
有和谐点（4，4），（-2，-2），求a、b的值；（2）若函数
中a=4，且函数有两个关于原点对称的和谐点，则函数
与
的图象有怎么样的位置关系？（3）若函数
的图象上有两个关于原点对称的和谐点，求a、b应满足的条件．
【答案】分析：（1）把（4，4），（-2，-2）代入函数解析式得到关于a，b的方程组，然后解方程组就可以确定函数的解析式；
（2）根据两点关于原点知道：纵坐标相同，横坐标互为相反数，因而可以设两个和谐点的横坐标分别是：x和-x，代入函数的解析式，即可得到关于b和x的方程，从而求得b的值，进而确定两个函数的图象的关系；
（3）根据（2）的方法：可以设两个和谐点的横坐标分别是：x和-x，代入函数的解析式，即可得到关于a，b和x的方程，即可求得a的范围．
解答：解：（1）将（4，4）、（-2，-2）代入y=
，得到：
，
解得：
；
（2）设两个和谐点的横坐标分别是：x和-x，根据题意得：
=x，则x2+（b-3）x-4=0…①；
=-x，则x2-（b-3）x-4=0…②．
①-②得：b-3=0．则b=3．
则y=
=
=3-
，
则函数
的图象向下移动3个单位长度即可得到
的图象；
（3）设两个和谐点的横坐标分别是：x和-x，则
=x，即x2+（b-3）x-a=0…③；
=-x，则x2-（b-3）x-a=0…④．
③-④得：b-3=0，则b=3．
③+④得：2x2-2a=0，即a=x2．
又∵x与-x的值不同，则x≠0，因而a＞0；
∵-x+b≠0，
∴a≠9．
故a的范围是：a＞0且a≠9．
点评：此题首先考查了用待定系数法确定函数的解析式，然后考查了利用平移规律找到几个图象相同的函数之间的联系．
（2）根据两点关于原点知道：纵坐标相同，横坐标互为相反数，因而可以设两个和谐点的横坐标分别是：x和-x，代入函数的解析式，即可得到关于b和x的方程，从而求得b的值，进而确定两个函数的图象的关系；
（3）根据（2）的方法：可以设两个和谐点的横坐标分别是：x和-x，代入函数的解析式，即可得到关于a，b和x的方程，即可求得a的范围．
解答：解：（1）将（4，4）、（-2，-2）代入y=
，得到：，解得：
；（2）设两个和谐点的横坐标分别是：x和-x，根据题意得：
=x，则x2+（b-3）x-4=0…①；=-x，则x2-（b-3）x-4=0…②．①-②得：b-3=0．则b=3．
则y=
==3-，则函数
的图象向下移动3个单位长度即可得到的图象；（3）设两个和谐点的横坐标分别是：x和-x，则
=x，即x2+（b-3）x-a=0…③；=-x，则x2-（b-3）x-a=0…④．③-④得：b-3=0，则b=3．
③+④得：2x2-2a=0，即a=x2．
又∵x与-x的值不同，则x≠0，因而a＞0；
∵-x+b≠0，
∴a≠9．
故a的范围是：a＞0且a≠9．
点评：此题首先考查了用待定系数法确定函数的解析式，然后考查了利用平移规律找到几个图象相同的函数之间的联系．
练习册系列答案
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九年义务教育三年制初级中学教科书代数第三册中，有以下几段文字：“对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数（x，y）和它对应；对于任意一对有序实数（x，y），在坐标平面内都有唯一的一点M和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．”“一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象．”“实际上，所有一次函数的图象都是一条直线．”“因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线，就可以了．”由此可知：满足函数关系式的有序实数对所对应的点，一定在这个函数的图象上；反之，函数图象上的点的坐标，一定满足这个函数的关系式．另外，已知直线上两点的坐标，便可求出这条直线所对应的一次函数的解析式．
，请运用定义进行解答
有和谐点（4，4），（-2，-2），求a、b的值；
的图象有怎么样的位置关系？