Question

【题目】如图O为坐标原点，四边形ABCD是菱形，A(4，4)，B点在第二象限，AB＝5，AB与y轴交于点F，对角线AC交y轴于点E

(1)直接写出B、C点的坐标；

(2)动点P从C点出发以每秒1个单位的速度沿折线段C﹣D﹣A运动，设运动时间为t秒，请用含t的代数式表示△EDP的面积；

(3)在(2)的条件下，是否存在一点P，使△APE沿其一边翻折构成的四边形是菱形？若存在，请直接写出当t为多少秒时存在符合条件的点P；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)B(-1，4)，C(-4，0)；见解析；(3)或7.5.

【解析】

（1）过A作AG⊥x轴于G，根据A点坐标可得AF、AG的长，即可求出BF的长，利用勾股定理可求出DG的长，进而可得OD的长，即可求出OC的长，根据B点在第二象限即可得出B、C两点坐标；（2）根据A、C坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，即可求出E点坐标，可得OE=OF，根据菱形的性质可得∠FAE=∠DAE，利用AAS可证明△AEF≌△AEH，可得EH=EF，分别讨论点P在CD、DA边时，利用三角形面积公式表示出△EDP的面积即可；（3）分别讨论沿PA、PE、AE翻折时，点P的位置，画出图形即可得答案.

（1）如图，过A作AG⊥x轴于G，

∵A（4，4），四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB=CD=5，AG=OG=4，AG=4，

∴BF=AB-AF=1，DG==3，

∴OD=OG-DG=1，

∴OC=CD-OD=4，

∵点B在第二象限，

∴B（-1，4），C（-4，0）

（2）如图，连接DE，过E作EH⊥AD于H，

设AC解析式为y=kx+b，

∵A（4，4），C（-4，0），

∴，

解得：，

∴直线AC的解析式为：y=x+2，

当x=0时，y=2，

∴E（0，2），

∴EF=OE=2，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠FAE=∠DAE，

又∵AE=AE，∠AFE=∠AHE=90°，

∴△AEF≌△AEH，

∴EH=EF=2，

∵t=5时，D与P重合，不构成三角形，

∴t≠5，

∴当点P在CD边运动时，即0≤t<5时，S△EDP=DP1×OE=（5-t）×2=5-t，

当点P在DA边运动时，即5<t≤10时，S△EDP=DP2×EH=（t-5）×2=t-5.

(3)当沿AP边翻折时，AE=CE，则P点与C点重合，

∴APE三点在一条直线上，故不符合题意.

如图，当沿PE翻折时，AE=AP，

∵AF=4，EF=2，

∴AE==，

∴AP=，

∴t=10-,

如图，当沿AE翻折时，设PA=AP′=EP′=x，

∵四边形ABCD是菱形，点P在AD上，

∴点P的对称点P′在AB边上，

∴在Rt△EFP′中，x2=22+(4-x)2，

解得：x=2.5，

∴t=10-2.5=7.5.

综上所述：当t为10-秒或7.5秒时存在符合条件的点P.