Question

有一个长方形OBCD放在一个数轴上（长方形一个顶点和远点重合），如图示．如果长方形的长OB=4，宽BC=3
（1）求长方形对角线BD的长度．
（2）若点M、N在数轴上分别代表实数-3与9，如图示．有一个动点Q从M出发，速度为每秒运动1个单位，沿数轴正方向运动到N点为止．问：何时点Q、B、D构成等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的对边相等可得OD=BC，然后利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）分BD是腰，点B是顶角顶点和底角顶点，BD是底边，BD是腰，点D是顶角顶点三种情况分别求出QD的长度，再求出MQ，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解．

解答：解：（1）∵长方形的长OB=4，宽BC=3，
∴OD=BC=3，
由勾股定理得，BD=

OB2+OD2

=

42+32

=5；

（2）如图，∵M表示出-3，D表示3，
∴MD=3-（-3）=3+3=6，
①BD是腰，点B是顶角顶点时，∵BO⊥DQ，
∴OQ=OD=3，
∴点Q与M重合，
∴MQ=0，
此时，t=0，
BD是腰，点B是底角顶点时，DQ=BD=5，
MQ=6-5=1，
此时，t=1÷1=1，
②BD是底边时，过点Q作QE⊥BD于E，
则DE=

1

2

BD=

1

2

×5=2.5，
cos∠BDO=

DE

DQ

=

OD

BD

，
即

2.5

DQ

=

3

5

，
解得DQ=

25

6

，
MQ=6-

25

6

=

11

6

，
此时，t=

11

6

÷1=

11

6

，
③BD是腰，点D是顶角顶点时，DQ=BD=5，
∴MQ=6+5=11，
此时，t=11÷1=11，
综上所述，当运动时间为0秒、1秒、

11

6

秒、11秒时，点Q、B、D构成等腰三角形．

点评：本题考查了勾股定理，长方形的性质，等腰三角形的判定，难点在于（2）要根据腰长的不同和点Q的位置的不同分情况讨论．