题目内容

(2011•大田县质检)如图,?ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,AB=
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,AO=3,BO=1.
(1)求证:AC⊥BD;
(2)求?ABCD的周长.
分析:(1)根据勾股定理的逆定理可知∠AOB=90°,继而得出AC⊥BD;
(2)根据菱形的判定定理:对角线互相垂直的平行四边形为菱形,可知AB=BC=CD=DA,继而即可求出?ABCD的周长.
解答:解:(1)∵AB=
10
,AO=3,BO=1,
∴AB2=10=AO2+BO2=9+1,
∴△AOB为直角三角形,∠AOB=90°,
∴AC⊥BD;
(2)由(1)知AC⊥BD,
又四边形ABCD为平行四边形,
∴四边形ABCD为菱形(对角线互相垂直的平行四边形为菱形),
∴AB=BC=CD=DA,
∴?ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=4AB=4
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点评:本题考查菱形的判定与性质及勾股定理的逆定理,解题关键是首先根据勾股定理的逆定理得出△AOB为直角三角形,难度一般.
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