题目内容

【题目】如图,O是ABC的外接圆,AE平分BAC交O于点E,交BC于点D,过点E做直线lBC.

(1)判断直线l与O的位置关系,并说明理由;

(2)若ABC的平分线BF交AD于点F,求证:BE=EF;

(3)在(2)的条件下,若DE=4,DF=3,求AF的长.

【答案】(1)直线l与O相切.理由详见解析;(2)证明详见解析;(3).

【解析】

试题分析:(1)连接OE、OB、OC.由题意可证明,于是得到BOE=COE,由等腰三角形三线合一的性质可证明OEBC,于是可证明OEl,故此可证明直线l与O相切;

(2)先由角平分线的定义可知ABF=CBF,然后再证明CBE=BAF,于是可得到EBF=EFB,最后依据等角对等边证明BE=EF即可;

(3)先求得BE的长,然后证明BED∽△AEB,由相似三角形的性质可求得AE的长,于是可得到AF的长.

试题解析:(1)直线l与O相切.理由如下

如图1所示:连接OE、OB、OC.

AE平分BAC,

∴∠BAE=CAE.

∴∠BOE=COE.

OB=OC,

OEBC.

lBC,

OEl.

直线l与O相切.

(2)BF平分ABC,

∴∠ABF=CBF.

∵∠CBE=CAE=BAE,

∴∠CBE+CBF=BAE+ABF.

∵∠EFB=BAE+ABF,

∴∠EBF=EFB.

BE=EF.

(3)由(2)得BE=EF=DE+DF=7.

∵∠DBE=BAE,DEB=BEA,

∴△BED∽△AEB.

,即,解得;AE=

AF=AE﹣EF=﹣7=

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