题目内容

已知：如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线y= $数学公式$ x相切，设半圆C₁、半圆C₂、半圆C₃的半径分别是r₁、r₂、r₃，则当r₁=1时，r₃=________．

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分析：分别过O₁、O₂、O₃作直线y= $\text{[math]}$ x的垂线，垂足为A、B、C，再分别过O₁、O₂作O₁D⊥O₂B，O₂E⊥O₃C，垂足为D、E，由直线解析式可知∠COO₃=∠DO₁O₂=∠EO₂O₃=30°，分别解Rt△DO₁O₂，Rt△EO₂O₃，求r₃．
解答：

解：如图，过O₁、O₂、O₃作直线的垂线，垂足为A、B、C，
过O₁、O₂作O₁D⊥O₂B，O₂E⊥O₃C，垂足为D、E，
∵直线解析式为y= $\text{[math]}$ x，
∴∠COO₃=∠DO₁O₂=∠EO₂O₃=30°，
在Rt△DO₁O₂中，O₁O₂=r₁+r₂，O₂D=r₂-r₁，由sin∠DO₁O₂= $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得r₂=3；
在Rt△EO₂O₃中，O₂O₃=r₂+r₃，O₃E=r₃-r₂，由sin∠EO₂O₃= $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得r₃=9．
故答案为：9．
点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据一次函数解析式求出直线与x轴的夹角，把问题转化到直角三角形中求解．