Question

【观察发现】
（1）如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．
作法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P．
（2）如图2，在等边三角形ABC中，AB=4，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．
作法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为

2

3

．
【实践运用】
如图3，菱形ABCD中，对角线AC、BD分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，若点P是BD上的动点，则MP+PN的最小值是

5

．
【拓展延伸】
（1）如图4，正方形ABCD的边长为5，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是

5 2

2

；
（2）如图5，在四边形ABCD的对角线BD上找一点P，使∠APB=∠CPB．保留画图痕迹，并简要写出画法．

Answer 1

分析：【观察发现】（2）首先由等边三角形的性质知，CE⊥AB，在直角△BCE中，∠BEC=90°BC=2，BE=1，由勾股定理可求出CE的长度，从而得出结果；
【实践运用】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，求出OC、OB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案；
【拓展延伸】（1）过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值；
（2）作点C关于直线BD的对称点C′，连接AC′并延长交BD于点P，则点P即为所求．

解答：解：【观察发现】（2）∵△ABC是等边三角形，AB=4，AD⊥BC，CE⊥AB，
∴点B与点C关于直线AD对称，BE=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
∴BP+PE的最小值=CE=

BC2-BE2

=

42-22

=2

3

．
故答案为：2

3

；

【实践运用】如图3，作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ=BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=

1

2

AC=3，BO=

1

2

BD=4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，
即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
故答案为：5；

【拓展延伸】（1）如图4，作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′²+AP′²=AD′²，AD′²=25，
∵AP′=P′D'，
2P′D′²=AD′²，即2P′D′²=25，
∴P′D′=

5 2

2

，即DQ+PQ的最小值为

5 2

2

．
故答案为：

5 2

2

；

（2）如图5所示．
作法：作点C关于直线BD的对称点C′，连接AC′并延长交BD于点P，则点P即为所求．

点评：本题考查了轴对称-最短路线问题、勾股定理、作图与基本作图等知识点的应用，解此题的关键是根据轴对称的性质找出P点，题型较好，难度较大．