题目内容
【题目】在小学,我们已经初步了解到,长方形的对边平行且相等,每个角都是90°.如图,长方形ABCD中,AD=9cm,AB=4cm,E为边AD上一动点,从点D出发,以1cm/s向终点A运动,同时动点P从点B出发,以acm/s向终点C运动,运动的时间为ts.
(1)当t=3时,
①求线段CE的长;
②当EP平分∠AEC时,求a的值;
(2)若a=1,且△CEP是以CE为腰的等腰三角形,求t的值;
(3)连接DP,直接写出点C与点E关于DP对称时的a与t的值.
【答案】(1)①5cm;②;(2)3或;(3),t=4.
【解析】试题分析:(1) ①当t=3时,根据路程=速度×时间,可求出DE=3,然后由勾股定理可计算出CE, ②当EP平分∠AEC时,根据角平分线的性质可得:点P到EC的距离等于点P到AD的距离,即EC边上的高等于4,利用等积法可求PC,再利用线段和差关系求BP,根据速度=路程÷时间,可计算出a,(2)根据线和差关系,勾股定理把PC,PE,CE用含t的代数式表示出来,然后根据等腰三角形的性质分情况讨论,列出关于t的方程,解方程即可求解,(3)根据点C与点E关于DP对称,可得DP垂直平分CE,所以DE=CD,PE=PC,然后根据DE=CD,可先计算出t,然后根据PE=PC可求出a.
试题解析:(1) ①当t=3时,则DE=3,
在Rt△CDE中, 由勾股定理可得:CE=,
②当EP平分∠AEC时,根据角平分线的性质可得:点P到EC的距离等于点P到AD的距离,即EC边上的高等于4,所以,
所以,
所以PC=5,则PB=BC-PC=9-5=4,
又因为PB=at=3t,
所以3t=4,解得a=,
(2) 在Rt△CDE中, 由勾股定理可得:CE=,
所以PC=BC-BP=9-t,
由勾股定理可得:PE=,
当EC=PE时,
=,解得t=3或t=9(不符合题意,舍去),
当EC=PC时,
=9-t,解得t=,
所以t=3或t=,
(3) 因为点C与点E关于DP对称,
所以DP垂直平分CE,所以DE=CD=4,PE=PC,
所以DE=t=4,
因为BP=at,所以BP=4a,
所以PC=9-4a,
由勾股定理可得:PE=,
=9-4a,解得a=,
所以a=,t=4.