题目内容
如图AF是⊙O的直径,以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D,DE⊥OB,垂足为E,求证:(1)D是AB的中点;
(2)DE是⊙C的切线;
(3)BE•BF=2AD•ED.
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【答案】分析:(1)连接OD,由OA为直径,利用直径所对的圆周角为直角得到∠ADO为直角,由AB为圆O的弦,OD垂直于AB,利用垂径定理得到AD=BD,即可得到D为AB的中点;
(2)连接CD,由D为AB的中点,C为OA的中点,得到CD为三角形AOB的中位线,利用中位线定理得到CD与OB平行,由DE垂直于OB,利用与平行线中的一条垂直,与另一条也垂直得到DE与DC垂直,即可得到DE为圆C的切线;
(3)由AF为圆O的直径,利用直径所对的圆周角为直角得到∠ABF为直角,再由OA=OB,利用等比对等角得到一对角相等,再由一对角为直角,得到三角形BDE与三角形ABF相似,由相似得比例,将AB=2AD代入变形即可得证.
解答:
证明:(1)连接OD,
∵OA是⊙C的直径,
∴∠ADO=90°,
∵AB是⊙O的弦,OD是弦心距,
∴AD=BD,即D是AB的中心;
(2)连接CD,
∵C、D分别为AO,AB的中点,
∴CD∥OB,
∵DE⊥OB,
∴DE⊥CD,
∴DE为⊙C的切线;
(3)连接BF,
∵AF是⊙O的直径,
∴∠ABF=90°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA,
又∵∠BED=90°,
∴△ABF∽△BED,
∴
=
,
∴BE•BF=AB•ED,
∵AB=2AD,
∴BE•BF=2AD•ED.
点评:此题考查了切线的判定,垂径定理,圆周角定理,相似三角形的判定与性质,三角形的中位线定理,熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键.
(2)连接CD,由D为AB的中点,C为OA的中点,得到CD为三角形AOB的中位线,利用中位线定理得到CD与OB平行,由DE垂直于OB,利用与平行线中的一条垂直,与另一条也垂直得到DE与DC垂直,即可得到DE为圆C的切线;
(3)由AF为圆O的直径,利用直径所对的圆周角为直角得到∠ABF为直角,再由OA=OB,利用等比对等角得到一对角相等,再由一对角为直角,得到三角形BDE与三角形ABF相似,由相似得比例,将AB=2AD代入变形即可得证.
解答:
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∵OA是⊙C的直径,
∴∠ADO=90°,
∵AB是⊙O的弦,OD是弦心距,
∴AD=BD,即D是AB的中心;
(2)连接CD,
∵C、D分别为AO,AB的中点,
∴CD∥OB,
∵DE⊥OB,
∴DE⊥CD,
∴DE为⊙C的切线;
(3)连接BF,
∵AF是⊙O的直径,
∴∠ABF=90°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA,
又∵∠BED=90°,
∴△ABF∽△BED,
∴
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∴BE•BF=AB•ED,
∵AB=2AD,
∴BE•BF=2AD•ED.
点评:此题考查了切线的判定,垂径定理,圆周角定理,相似三角形的判定与性质,三角形的中位线定理,熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键.
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